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国立 電気通信大学 2016年 第1問関数
\[ f(x)=2 \sin x+\sqrt{6} \sin 2x \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$および不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(2)区間$0<x<\pi$において$f(x)=0$となる$x$の値を$\alpha$とする．このとき，$\cos \alpha$と$\cos 2 \alpha$の値を求めよ．
(3)区間$0<x<\pi$において$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を$\beta,\ \gamma (\beta<\gamma)$とする．このとき，$\cos \beta$と$\cos \gamma$の値を求めよ．
(4)区間$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．
\[ f(x)=2 \sin x+\sqrt{6} \sin 2x \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$および不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(2)区間$0<x<\pi$において$f(x)=0$となる$x$の値を$\alpha$とする．このとき，$\cos \alpha$と$\cos 2 \alpha$の値を求めよ．
(3)区間$0<x<\pi$において$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を$\beta,\ \gamma (\beta<\gamma)$とする．このとき，$\cos \beta$と$\cos \gamma$の値を求めよ．
(4)区間$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．
国立 電気通信大学 2016年 第4問関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} \quad (x>0) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．さらに，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値$x_0$を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$を考える．$t>x_0$のとき，接線$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．原点を$\mathrm{O}$として，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$g(t)$を$t$の式で表せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{\sqrt{t} \log t}$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} \quad (x>0) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．さらに，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値$x_0$を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$を考える．$t>x_0$のとき，接線$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．原点を$\mathrm{O}$として，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$g(t)$を$t$の式で表せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{\sqrt{t} \log t}$を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第2問$a,\ b,\ c$を定数とする．$2$つの関数$f(x)=(|x-a|-1)^2$，$g(x)=-x^2+bx+c$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値が$4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a=1$のとき，不等式$f(x) \leqq g(x)$の解が$-1 \leqq x \leqq 3$となるような$b,\ c$の値を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値が$4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a=1$のとき，不等式$f(x) \leqq g(x)$の解が$-1 \leqq x \leqq 3$となるような$b,\ c$の値を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$について，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$を用いてよい．
(2)$e^{\pi}>\pi^e$を示せ．
(3)$e^{\sqrt{\pi}}<\pi^{\sqrt{e}}$を示せ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$について，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$を用いてよい．
(2)$e^{\pi}>\pi^e$を示せ．
(3)$e^{\sqrt{\pi}}<\pi^{\sqrt{e}}$を示せ．
国立 富山大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ．
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第1問関数$f(x),\ g(x)$に対して，$\displaystyle h(x)=\int_0^x f(x-t)g(t) \, dt$で定義される関数$h(x)$を$(f * g)(x)$と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$(f * g)(x)=(g * f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を
\[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} * g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義する．
(i) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ii) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(iii) $h_n(x)$を求めよ．
(1)$(f * g)(x)=(g * f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を
\[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} * g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義する．
(i) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ii) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(iii) $h_n(x)$を求めよ．
国立 山口大学 2016年 第1問関数$f(x)=x^3-3x^2-3x+1$について，次の問いに答えなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(3)関数$y=|f(x)|$の$-1 \leqq x \leqq 4$における最大値を求めなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(3)関数$y=|f(x)|$の$-1 \leqq x \leqq 4$における最大値を求めなさい．
国立 茨城大学 2016年 第4問$m$を実数とする．$2$つの関数
\[ f(x)=2 |x(x-3)|,\quad g(x)=mx+\frac{1}{2} \]
について，次の各問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ．
(2)$m$は$(1)$で求めた値のうち最大のものとする．関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
\[ f(x)=2 |x(x-3)|,\quad g(x)=mx+\frac{1}{2} \]
について，次の各問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ．
(2)$m$は$(1)$で求めた値のうち最大のものとする．関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第1問関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり，$g(x)=f^\prime(x)$，$h(x)=xf(x)$とおく．$a$を実数として，点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする．$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第4問$a$を正の定数とし，$f(x)=(x+a) \log x$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell$が原点を通るとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸，および接線$\ell$とで囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき，関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ．
(1)$a$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸，および接線$\ell$とで囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき，関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ．