タグ「長方形」の検索結果

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横浜国立大学 国立 横浜国立大学 2016年 第5問
$xy$平面上に楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$がある.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$C$の接線が$2$本あり,それらが直交するとき,$a,\ b$がみたす条件を求めよ.
(2)$C$に外接する長方形のうち,$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問
$4$つの複素数$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$は互いに異なり,その絶対値はすべて$1$であるとする.

(1)$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき,$z_1+z_2+z_3=0$となることを示せ.
(2)$z_1+z_2+z_3=0$が成り立つとき,$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ.
(3)$z_1+z_2+z_3+z_4=0$が成り立つとき,$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ.
福岡教育大学 国立 福岡教育大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ.
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす.このとき,正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち,正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第3問
関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える.$p$を正の数とする.以下の問いに答えよ.

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする.$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ.さらに,区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ,不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ.
(3)$x \geqq 0$の範囲で,曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする.その面積$S(p)$を求めよ.
(4)$2$辺が$x$軸,$y$軸に平行な長方形$R$を考える.$R$が図形$F$を囲んでいるとき,$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ.さらに,$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第4問
関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える.$p$を正の数とする.以下の問いに答えよ.

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする.$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ.さらに,区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ,不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ.
(3)$x \geqq 0$の範囲で,曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする.その面積$S(p)$を求めよ.
(4)$2$辺が$x$軸,$y$軸に平行な長方形$R$を考える.$R$が図形$F$を囲んでいるとき,$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ.さらに,$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ.
倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第6問
平面上に等間隔に並ぶ$6$本の平行線があり,さらにそれらに直交し,それらと同じ間隔で並ぶ$6$本の平行線があるとき,次の設問に答えよ.

(1)これら$2$組の平行線で作られる長方形は何個あるか.
(2)そのうち正方形ではないものは何個あるか.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第4問
以下の問に答えよ.

(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる.したがって,$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる.
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.

(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ii) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(iii) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ.
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.

(図は省略)
立教大学 私立 立教大学 2016年 第2問
図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり,$ab=1$とする.この長方形の四隅から,一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り,残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して,$a$と$b$が変化するとき,$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ.
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ.
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき,$V$を最大にする$a$の値と,そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す.このとき,$M(c)$を最大にする$c$の値と,そのときの$M(c)$の値を求めよ.
愛知学院大学 私立 愛知学院大学 2016年 第4問
縦$12 \, \mathrm{cm}$,横$18 \, \mathrm{cm}$の長方形の厚紙の四隅から一辺の長さが$a \, \mathrm{cm}$の正方形を切り取り,ふたのない直方体の箱を作ります.この直方体の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$としたとき,次の問に答えなさい.

(1)体積$V$を$a$の式で表しなさい.
(2)体積$V$が最大となる$a$を求めなさい.
(3)$V$の最大値を求めなさい.
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2016年 第5問
下図のように,$\mathrm{AB}=63$,$\mathrm{BC}=52$,$\mathrm{CA}=25$である三角形に内接する長方形を作る.このような長方形の面積の最大値を求めよ.
(図は省略)
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