「長さ」について
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国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第2問媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第3問四角形$\mathrm{ABCD}$に対して次の$①$と$②$が成り立つとする．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．
国立 鹿児島大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第3問四角形$\mathrm{ABCD}$に対して次の$①$と$②$が成り立つとする．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．
国立 鹿児島大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$に対して次の$①$と$②$が成り立つとする．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第4問平面内に三角形ABCがある．その平面上で，1点Oを定めておく．次の問いに答えよ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．