$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．面$\mathrm{ABC}$と面$\mathrm{DBC}$のなす角を$\theta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\cos \theta$を求めなさい．
(2)正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めなさい．
(3)正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径$r$を求めなさい．

$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

$1$個のサイコロを$3$回続けて投げる．$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を起点とし$1$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を増加させた点を$\mathrm{A}$とする．次に，点$\mathrm{A}$を起点とし$2$回目に出た目と同じ数だけ$y$座標を増加させた点を$\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{B}$を起点とし$3$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を減少させた点を$\mathrm{C}$とする．また，四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$S$とおく．以下の問題に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$が正方形になる確率を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さがすべて異なる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$になる確率を求めよ．
(4)面積$S$が整数になる確率を求めよ．
(5)面積$S$が$25$以上になる確率を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ケ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$x$および$y$は実数とする．点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$となる．
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える．この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると，円の半径$r$の値は$[ウ]$，正$12$角形の面積は$[エ]$である．
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある．タイルは長方形で，縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である．$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく，はみ出ないように貼り付けるとき，$[オ]$通りの貼り付け方が存在する．必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする．また，タイルは切断できないものとする．
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$，$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる．
(5)赤玉が$3$個，白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である．少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$3$の正三角形とする．辺$\mathrm{BC}$の延長線上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$である点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と$\angle \mathrm{B}$の二等分線との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{ED}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．

$1$辺の長さが$1$の正方形を底面とする四角柱$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を，それぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{BF}$，辺$\mathrm{CG}$上に，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が同一平面上にあるようにとる．四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおく．また，$\angle \mathrm{AOP}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{COR}$を$\beta$とおく．

(1)$S$を$\tan \alpha$と$\tan \beta$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4},\ S=\frac{7}{6}$であるとき，$\tan \alpha+\tan \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq \beta$のとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
（図は省略）

座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．線分$y=\sqrt{3}x (0 \leqq x \leqq 2)$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x (-2 \leqq x \leqq 0)$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．

(1)$s$を$0 \leqq s \leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,\ t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．
(2)$D$を図示せよ．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．線分$y=\sqrt{3}x (0 \leqq x \leqq 2)$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x (-3 \leqq x \leqq 0)$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．

(1)$s$を$-3 \leqq s \leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,\ t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．
(2)$D$を図示せよ．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=8$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{BC}$上にあり，$\angle \mathrm{BAP}=\theta$，$\angle \mathrm{PAC}=2\theta$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{7}{8}$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

空間内にある半径$1$の球（内部を含む）を$B$とする．直線$\ell$と$B$が交わっており，その交わりは長さ$\sqrt{3}$の線分である．

(1)$B$の中心と$\ell$との距離を求めよ．
(2)$\ell$のまわりに$B$を$1$回転してできる立体の体積を求めよ．