「長さ」について
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私立 上智大学 2015年 第3問平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第2問各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その$3$辺の長さを$x,\ y,\ z (x \leqq y \leqq z)$とする．また，$n$を自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．
(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．
(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．
(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．
(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．
(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．
私立 北星学園大学 2015年 第2問$3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．以下の問に答えよ．
(1)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$を証明せよ．
(3)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$r$を求めよ．
(1)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$を証明せよ．
(3)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$r$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問$[ ]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
私立 東京理科大学 2015年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において点$\mathrm{R}(a,\ b) (a>0,\ b>0)$をとる．$x$軸の正の部分に点$\mathrm{P}$を，$y$軸の正の部分に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{R}$を通るようにとる．以下，$\displaystyle \angle \mathrm{OPQ}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$\theta$および$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さを最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$および線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$a=1$，$b=8$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の$3$辺の長さの和を最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値および線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$\theta$および$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さを最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$および線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$a=1$，$b=8$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の$3$辺の長さの和を最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値および線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
私立 東北学院大学 2015年 第2問一辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$l=|\overrightarrow{\mathrm{EC}}|$とするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．
私立 広島工業大学 2015年 第7問下図のような$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={30}^\circ$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$\sqrt{3}$とする．さらに，弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{PC}$となる点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BPC}$および$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCP}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BPC}$および$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCP}$の面積を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第3問座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=2x^2+2x+\frac{1}{2}$と$\displaystyle C_2:y=-2x^2+2x+\frac{3}{2}$に対して次の問いに答えよ．なお，必要なら \ \tbox{\rule[-0.43em]{0pt}{1.6em}\hspace{0.33em} $1$\hspace{0.57em}} $(1)$の結果を使ってもよい．
(1)$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し，$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ．
(2)$(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても，直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る．$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_1$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(4)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_2$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(5)$(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して，線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ．
(1)$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し，$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ．
(2)$(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても，直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る．$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_1$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(4)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_2$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(5)$(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して，線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第2問$3$種類の記号$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．このような記号列のなかで，$a$がちょうど偶数個含まれるようなものの総数を$g(n)$とする．ただし，$0$個の場合も偶数個とみなす．たとえば，$g(1)=2$，$g(2)=5$である．
(1)自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．
(2)$g(n)$を求めよ．
(3)一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m \geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n \geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．
(1)自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．
(2)$g(n)$を求めよ．
(3)一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m \geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n \geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．