「長さ」について
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国立 山梨大学 2015年 第3問下の図のように，$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える．$P_1$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる．さらに，正五角形$P_2$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる．以下，これを繰り返す．正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$，正五角形$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
国立 茨城大学 2015年 第4問$xy$平面において，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x}}$が表す曲線を$C$とし，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{\sqrt{t}} \right)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸，直線$x=t$，および点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L(t)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$L(t)$の最小値を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸，直線$x=t$，および点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L(t)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$L(t)$の最小値を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第1問原点を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$の上に，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$をとる．線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る直線が円$\mathrm{O}$と交わる$2$点のうち，$\mathrm{N}$に近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{NQ}$の長さを求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し，
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し，
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とします．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{CE}$となるようにとります．ただし，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なるものとします．次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めなさい．
(3)$\mathrm{DE}$の長さが$2 \sqrt{2}$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)四角形$\mathrm{DBCE}$の面積が最小となる$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．また，そのときの四角形$\mathrm{DBCE}$の面積を求めなさい．
(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めなさい．
(3)$\mathrm{DE}$の長さが$2 \sqrt{2}$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)四角形$\mathrm{DBCE}$の面積が最小となる$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．また，そのときの四角形$\mathrm{DBCE}$の面積を求めなさい．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 愛知教育大学 2015年 第7問$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．
(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．