$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える．また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)円$C$上に，$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり，$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

ただし$(2)$，$(3)$においては，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする．

座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ．
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$を一辺の長さ$6$の正三角形とする．サイコロを$3$回振り，出た目を順に$X,\ Y,\ Z$とする．出た目に応じて，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ線分$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上に
\[ \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{X}{6} \overrightarrow{\mathrm{BC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\frac{Y}{6} \overrightarrow{\mathrm{CA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{Z}{6} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
をみたすように取る．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になる確率を求めよ．
(2)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_1$，点$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_2$，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{Q}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_3$とする．$T_1,\ T_2,\ T_3$のうち，ちょうど$2$つが正三角形になる確率を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とし，$S$のとりうる値の最小値を$m$とする．$m$の値および$S=m$となる確率を求めよ．

一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は，この順に反時計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

サイコロを$3$回振って出た目の数をそれぞれ順に$a,\ b,\ c$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$がある直角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$がある鈍角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．

水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており，$S_1$と$S_2$は外接している．

(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ．
(2)$\alpha$の上に乗っており，$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える．それらの球と$\alpha$の接点は，$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ．

$xy$平面において，点$(0,\ 2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．また，放物線$y=ax^2$を$P$とする．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)円$C$と放物線$P$との共有点が円$C$の円周の長さを$3$等分するとき，$a$の値を求めよ．
(2)$a$の値を$(1)$で求めたものとする．このとき，円$C$と放物線$P$により囲まれてできる図形のうち，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3}{2} \right)$を内部に含む図形の面積を求めよ．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AO}$との交点を$\mathrm{M}$とする．$5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っているとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ．

一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は，この順に反時計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$とベクトルの大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．