$3$つの直線$\ell:ax-y=0$，$m:x-2y-2=0$，$n:x+y-5=0$があり，直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{B}$，直線$m$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のすべてを通る円を$D$とする．ただし，$a$は実数で$\displaystyle a>\frac{1}{2}$とする．

(1)$\mathrm{BC}$が円$D$の直径となるとき点$\mathrm{A}$の座標は$[$7$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{15}{2}$，かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角であるとき，$a=[$8$]$であり，円$D$の方程式は$[$9$]$となる．

$\angle \mathrm{A}$が鋭角で$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=[コ]:[サ] \]
である．
(2)線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=[シ]:[ス] \]
である．
(3)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$，$\mathrm{BC}=[タ] \sqrt{[チ]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ト]$であり，内接円の半径は$\sqrt{[ナ]}-[ニ]$である．

$\alpha>1$とする．曲線$C:y=x^\alpha \ (x>0)$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^\alpha)$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上に点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．

$\alpha>1$とする．曲線$C:y=x^\alpha \ (x>0)$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^\alpha)$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上に点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$直線$\displaystyle y=\frac{1}{a}x+1,\ y=(b+1)x$のなす鋭角を$\theta$とする．

\mon[$①$] $\tan \theta$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$②$] $\tan \theta \leqq 1$となる確率を求めよ．

(2)$xy$平面上で，連立不等式$x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 2x+y \leqq 4$の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$がこの領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{b}{a}x+y$の最大値を$M$とする．

\mon[$①$] $\displaystyle \frac{b}{a} \leqq 2$のとき，$M$を求めよ．
\mon[$②$] $\displaystyle \frac{b}{a}>2$のとき，$M$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$③$] $M$の期待値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)下図のような点$\mathrm{O}$を中心とする円において，弦$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{A}$における接線$\ell$とのなす角$\angle \mathrm{BAT}$は，その角内にある弧$\mathrm{AB}$に対する円周角$\angle \mathrm{APB}$に等しいことを証明せよ．ただし，$\angle \mathrm{BAT}$は鋭角とする．
（図は省略）

$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{\sqrt{14}}{2}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}+\sqrt{t} \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{a}-\sqrt{t} \overrightarrow{b} (t>0)$とするとき，$\angle \mathrm{AOB}$が鋭角となるような$t$の値の範囲は$[　]$であり，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$となるような$t$の値は$[　]$である．

次の問いに答えなさい．ただし，以下の角$\theta$は鋭角とし，$\tan \theta=t$とおく．

(1)$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．また，特に$\tan 2\theta=\sqrt{8}$の場合に$t$の値を求めよ．
(2)加法定理を利用し，$\tan 3\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\tan 3\theta=1$のとき，$t$の値を求めよ．

$1$から$4$の数字が$1$つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に$4$回投げ，底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とする．そして，座標平面上の$2$点を$\mathrm{P}_1(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{P}_2(-a_3,\ a_4)$とする．また，原点を$\mathrm{O}$と表す．

(1)点$\mathrm{P}_1$が直線$y=2x$上にあり，かつ点$\mathrm{P}_2$が直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$上にある確率を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が直角となる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が鋭角となる確率を求めよ．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ト]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．