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玉川大学 私立 玉川大学 2016年 第2問
次の$[ ]$を埋めよ.

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする.$\mathrm{CA}=x$とおくとき,
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である.$\angle \mathrm{BAC}$の最大は,${[ウエ]}^\circ$であり,このとき,$x=[オ]$である.
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする.このとき,方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は,$[カキ]$個で,$x$が最小となる解は,$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である.
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと,$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる.
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$,$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする.このとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は,
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり,鈍角になる条件は,
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である.
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+n$で表されるとき,
\[ a_n=[チ]n \]
である.また,
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である.
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2016年 第3問
以下の各問いに答えなさい.

(1)下の図において,$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$の値を,それぞれ求めなさい.

(図は省略)

(2)$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{5}$のとき,$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めなさい.ただし,$\theta$は鋭角とする.
(3)下の図において,$100 \, \mathrm{m}$離れた$2$地点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から,上空の飛行物体$\mathrm{X}$を見ると$\angle \mathrm{XAB}={60}^\circ$,$\angle \mathrm{XBA}={75}^\circ$であった.また,$\mathrm{B}$から$\mathrm{X}$を見上げたときの角度は${30}^\circ$であった.このとき,$\mathrm{X}$と$\mathrm{B}$の標高差にあたる$\mathrm{XH}$を求めなさい.
(図は省略)
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2016年 第3問
以下の各問いに答えなさい.

(1)$\displaystyle \sin ({90}^\circ-\theta)=\frac{1}{3}$のとき,$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$の値を,それぞれ求めなさい.ただし,$\theta$は鋭角とする.
(2)下の図において,$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$を,それぞれ求めなさい.

(図は省略)

(3)下の図において,海抜$0 \, \mathrm{m}$の地点$\mathrm{A}$から飛行物体$\mathrm{X}$を見上げた角度は${45}^\circ$であった.次にこの飛行物体$\mathrm{X}$に向かって水平に$20 \, \mathrm{m}$近づいた地点$\mathrm{B}$から$\mathrm{X}$を見上げたときの角度は${60}^\circ$であった.このとき,飛行物体$\mathrm{X}$の高度にあたる$\mathrm{XH}$を求めなさい.
(図は省略)
京都府立大学 公立 京都府立大学 2016年 第3問
$s$を実数とする.$1<t<5$とする.$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{P} \left( s,\ t,\ \frac{4}{t} \right)$がある.以下の問いに答えよ.

(1)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$は一直線上にないことを示せ.
(2)$\angle \mathrm{OPA}$は鋭角であることを示せ.
(3)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積の最小値を求めよ.
(4)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積が最小となるとき,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ.
センター試験 問題集 センター試験 2015年 第2問
$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く.

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを,下の$\nagamarurei$~$\nagamarusan$のうちから一つ選べ.

命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($q_1$かつ$q_2$)」の対偶は$[ア]$である.

$\nagamarurei$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$)
$\nagamaruichi$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$)
$\nagamaruni$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$)
$\nagamarusan$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$)
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める.
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$q_2$)」
の反例となる.
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=5$,$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする.

このとき,$\mathrm{AC}=[オ]$,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり,
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である.

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を,$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角,となるようにとる.点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし,$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると,$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である.
熊本大学 国立 熊本大学 2015年 第3問
$a$と$b$を正の実数とする.$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする.点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし,線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする.また,$\mathrm{BX}_1=a$,$\mathrm{CX}_1=b$とする.各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う.

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする.また,点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする.点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする.

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$l_1$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$l_{n+1}$を$l_n$,$a$,$b$を用いて表せ.
(3)$b=8a$のとき,$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ.必要ならば,$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてよい.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする.サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする.頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率,直角$3$角形をなす確率,鋭角$3$角形をなす確率,鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ.
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする.番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し,出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする.頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率,鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2015年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする.点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし,線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする.また,$\mathrm{BX}_1=1$,$\mathrm{CX}_1=8$とする.各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う.

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする.また,点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする.点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする.

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$l_1$を求めよ.
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ.
(3)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2015年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする.点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし,線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする.また,$\mathrm{BX}_1=1$,$\mathrm{CX}_1=8$とする.各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う.

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする.また,点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする.点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする.

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$l_1$を求めよ.
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ.必要ならば,$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい.
香川大学 国立 香川大学 2015年 第1問
図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする.$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$,辺$\mathrm{GF}$上の点とする.$\mathrm{AR}=r$,$\mathrm{GS}=s$,$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき,次の問に答えよ.
(図は省略)

(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$,$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を,それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ.
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき,$r$と$s$の値を求めよ.
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ.
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「鋭角」とは・・・

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