「鈍角」について
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私立 玉川大学 2016年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
私立 山口東京理科大学 2015年 第6問角$\theta$は鈍角で，$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$のとき，$\displaystyle \frac{6 \tan \theta+5}{5 \cos \theta+2}$の値は$[ヒ]$である．
公立 広島市立大学 2015年 第4問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\theta$は鋭角，直角，鈍角のいずれであるかを調べよ．
(4)線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\theta$は鋭角，直角，鈍角のいずれであるかを調べよ．
(4)線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ．
私立 早稲田大学 2014年 第5問角$A$が鈍角の三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$2 \sqrt{2}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
私立 早稲田大学 2011年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
\img{304_23_2011_1}{20}
(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
\img{304_23_2011_1}{20}
(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．
私立 千葉工業大学 2011年 第4問三角形$\mathrm{OAB}$は面積が$9 \sqrt{7}$で，$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=8$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は鈍角である．辺$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$があり，線分$\mathrm{OL}$上に点$\mathrm{N}$があって，
\[ \mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:3,\quad \mathrm{AM}:\mathrm{MB}=\mathrm{ON}:\mathrm{NL}=t:(1-t) \]
（ただし，$0<t<1$）が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[エオ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$，$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{[カ]}{[キ]} t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{NM}}=(1-\frac{[コ]}{[サ]}t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と垂直になるのは，$\displaystyle t=\frac{[セ]}{[ソ]}$のときである．このとき，三角形$\mathrm{NAB}$の面積は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
\[ \mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:3,\quad \mathrm{AM}:\mathrm{MB}=\mathrm{ON}:\mathrm{NL}=t:(1-t) \]
（ただし，$0<t<1$）が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[エオ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$，$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{[カ]}{[キ]} t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{NM}}=(1-\frac{[コ]}{[サ]}t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と垂直になるのは，$\displaystyle t=\frac{[セ]}{[ソ]}$のときである．このとき，三角形$\mathrm{NAB}$の面積は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．