「適当」について
タグ「適当」の検索結果
（6ページ目：全79問中51問～60問を表示）
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を記入せよ．
(1)$20^{10}$の正の約数は全部で$[ア]$個ある．
(2)$2<\log_a 900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$[イ]$個ある．
(3)整数の組$(p,\ q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,\ q)$は全部で$[ウ]$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$[エ]$個ある．
(5)$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$[オ]$個ある．
(1)$20^{10}$の正の約数は全部で$[ア]$個ある．
(2)$2<\log_a 900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$[イ]$個ある．
(3)整数の組$(p,\ q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,\ q)$は全部で$[ウ]$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$[エ]$個ある．
(5)$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$[オ]$個ある．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
私立 成城大学 2012年 第2問$x$が正の整数であるとき，$x^4+4$が素数となりうるかを調べる．$[ ]$に適当な式，または数値を入れよ．
$x^4+4$は，係数が実数の$2$つの$2$次式の積$([$*$]) \times ([$**$])$に因数分解することができる．$x$は正の整数であるから，$[$*$]$も$[$**$]$も，いずれも整数である．もし，$x^4+4$が素数であるとするならば，$[$*$]$と$[$**$]$のうち，いずれか小さい方が，$[ ]$でなければならない．これを解くと，$x=[ ]$であり，このとき，$x^4+4=[ ]$となり，確かに素数となる．
$x^4+4$は，係数が実数の$2$つの$2$次式の積$([$*$]) \times ([$**$])$に因数分解することができる．$x$は正の整数であるから，$[$*$]$も$[$**$]$も，いずれも整数である．もし，$x^4+4$が素数であるとするならば，$[$*$]$と$[$**$]$のうち，いずれか小さい方が，$[ ]$でなければならない．これを解くと，$x=[ ]$であり，このとき，$x^4+4=[ ]$となり，確かに素数となる．
私立 神奈川大学 2012年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)放物線$\displaystyle y=x^2-x+\frac{7}{4}$の頂点の座標は$[ア]$である．
(2)多項式$P(x)$を$x-2$で割ると余りは$3$であり，$x+3$で割ると余りは$-7$である．また，$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ると商は$x+1$であるが，割り切れない．この$P(x)$を$x+1$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)赤い玉$2$個，黄色い玉$3$個，青い玉$4$個が入っている袋から，よくかき混ぜて玉を同時に$3$個取り出すとき，$3$個の玉の色が$2$種類である確率は$[ウ]$である．
(4)$2$つの曲線$y=a-x^2$，$y=x^2+2ax+b$が$x=3$で共通の接線をもつような$a,\ b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$である．
(1)放物線$\displaystyle y=x^2-x+\frac{7}{4}$の頂点の座標は$[ア]$である．
(2)多項式$P(x)$を$x-2$で割ると余りは$3$であり，$x+3$で割ると余りは$-7$である．また，$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ると商は$x+1$であるが，割り切れない．この$P(x)$を$x+1$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)赤い玉$2$個，黄色い玉$3$個，青い玉$4$個が入っている袋から，よくかき混ぜて玉を同時に$3$個取り出すとき，$3$個の玉の色が$2$種類である確率は$[ウ]$である．
(4)$2$つの曲線$y=a-x^2$，$y=x^2+2ax+b$が$x=3$で共通の接線をもつような$a,\ b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$である．
私立 神奈川大学 2012年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 愛知工業大学 2012年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$|x+1|-3 |x-1|=4x+1$をみたす$x$は$x=[ア]$である．
(2)$3$つのさいころを同時に投げるとき，$2$つは同じで他の$1$つは異なる目が出る確率は$[イ]$であり，$3$つとも異なる目が出る確率は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=[エ]$であり，$\displaystyle S_n>\frac{2011}{2012}$となるような最小の自然数$n$の値は$n=[オ]$である．
(4)$xy$平面において，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=2x-1$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点は直線$y=[カ]$上を動く．
(5)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[キ]$，$\sin \theta=[ク]$である．
(6)$f(x)=\sqrt{x}$のとき，$f^\prime(x)=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}^{\pi^2} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=[コ]$である．
(1)$|x+1|-3 |x-1|=4x+1$をみたす$x$は$x=[ア]$である．
(2)$3$つのさいころを同時に投げるとき，$2$つは同じで他の$1$つは異なる目が出る確率は$[イ]$であり，$3$つとも異なる目が出る確率は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=[エ]$であり，$\displaystyle S_n>\frac{2011}{2012}$となるような最小の自然数$n$の値は$n=[オ]$である．
(4)$xy$平面において，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=2x-1$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点は直線$y=[カ]$上を動く．
(5)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[キ]$，$\sin \theta=[ク]$である．
(6)$f(x)=\sqrt{x}$のとき，$f^\prime(x)=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}^{\pi^2} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=[コ]$である．
私立 杏林大学 2012年 第1問$[カ]$，$[キ]$の解答はそれぞれの解答群の中から最も適当なものを$1$ずつ選べ．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
私立 杏林大学 2012年 第2問$[タ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
一辺の長さが$2$である正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{a}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=k$より，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k \overrightarrow{a}+[ア] \overrightarrow{d} \]
が成り立つ．また，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[イ] \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{d} \]
と表せる．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=k$より，
\[ k=[ウ]+\sqrt{[エ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\frac{[オ]-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
となる．
また，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left( [ク]+\sqrt{[ケ]} \right) \overrightarrow{a} \]
であり，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$2:[コ]+\sqrt{[サ]}$に外分する．
(3)正五角形$\mathrm{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると，
\[ \alpha^2=[シ]+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]} \]
である．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$t \overrightarrow{\mathrm{OA}} (t \geqq 0)$を始線としたとき，極座標$(r,\ \theta)$を用いて直線$\mathrm{AD}$の極方程式は$r=[タ]$と表わされる．
$[タ]$の解答群
\setstretch{2.5}
\[ \begin{array}{lll}
① 2 \cos \theta+\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ② 2 \cos \theta-\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ③ 2 \cos \theta+2\alpha \sin \theta \\
④ 2 \cos \theta-2 \alpha \sin \theta & ⑤ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta+\sin \theta} & ⑥ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta-\sin \theta} \\
④chi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta+\alpha \sin \theta} & \maruhachi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta-\alpha \sin \theta} &
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
一辺の長さが$2$である正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{a}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=k$より，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k \overrightarrow{a}+[ア] \overrightarrow{d} \]
が成り立つ．また，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[イ] \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{d} \]
と表せる．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=k$より，
\[ k=[ウ]+\sqrt{[エ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\frac{[オ]-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
となる．
また，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left( [ク]+\sqrt{[ケ]} \right) \overrightarrow{a} \]
であり，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$2:[コ]+\sqrt{[サ]}$に外分する．
(3)正五角形$\mathrm{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると，
\[ \alpha^2=[シ]+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]} \]
である．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$t \overrightarrow{\mathrm{OA}} (t \geqq 0)$を始線としたとき，極座標$(r,\ \theta)$を用いて直線$\mathrm{AD}$の極方程式は$r=[タ]$と表わされる．
$[タ]$の解答群
\setstretch{2.5}
\[ \begin{array}{lll}
① 2 \cos \theta+\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ② 2 \cos \theta-\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ③ 2 \cos \theta+2\alpha \sin \theta \\
④ 2 \cos \theta-2 \alpha \sin \theta & ⑤ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta+\sin \theta} & ⑥ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta-\sin \theta} \\
④chi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta+\alpha \sin \theta} & \maruhachi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta-\alpha \sin \theta} &
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
私立 成城大学 2012年 第2問次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．
(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．
(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．
公立 奈良県立医科大学 2012年 第4問整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．
(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．
(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．