タグ「進法」の検索結果

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京都大学 国立 京都大学 2016年 第3問
$n$を$4$以上の自然数とする.数$2,\ 12,\ 1331$がすべて$n$進法で表記されているとして,
\[ 2^{12}=1331 \]
が成り立っている.このとき$n$はいくつか.十進法で答えよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第5問
$k$を正の整数とし,$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる.ここで,$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で,$a_k \neq 0$とする.

(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ.
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば,次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ.
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し,$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す.$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ.
鳴門教育大学 国立 鳴門教育大学 2016年 第4問
次の問いに答えなさい.

(1)$10$進数$999$以下の自然数で,$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるものの個数を求めなさい.
(2)自然数$n$を$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるとします.このとき,$n$を$9$進法で表せば,各位の数字が$0,\ 1,\ 3,\ 4$のいずれかになることを示しなさい.
(3)$10$進数$999$以下の自然数で,$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であり,かつ,$9$進法で表したとき各位の数字が$1$または$3$であるものの個数を求めなさい.
星薬科大学 私立 星薬科大学 2016年 第2問
次の問に答えよ.

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$1$桁の数として,$3$桁の数を$abc$と表記するとき,$7$進法で表すと$3$桁の数$abc_{(7)}$になり,$5$進法で表すと$3$桁の数$bca_{(5)}$になる数を$10$進法で表すと$[$18$][$19$]$である.
(2)$\displaystyle \frac{123}{343}$を$7$進法の小数で表すと$[$20$]. [$21$][$22$][$23$]_{(7)}$である.
学習院大学 私立 学習院大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$n$を自然数とするとき,和
\[ \sum_{k=2n}^{3n} (3k^2+5k-1) \]
を$n$の整式として表せ.ただし,答えは$n$について降べきの順に整理すること.
(2)${12}^{40}$は何桁の数であるか答えよ.ただし,整数は$10$進法で表すものとし,$\log_{10}2=0.301$,$\log_{10}3=0.477$とする.
京都産業大学 私立 京都産業大学 2016年 第2問
以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ.

$n$を$3$以上の整数とする.整数$x$を$2$進法で表す.上から$k+1$桁目($1 \leqq k \leqq n$)の数を$a_k$とし,$x=1a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$と表す.$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は$0$か$1$である.この形の$x$は$[ア]$個ある.
このような$x$の中で値が最も小さいものは$10 \cdots 0_{(2)} (a_1=a_2=\cdots =a_n=0)$であり,$n$で表すと$2^n$である.また,最も大きいものを$n$で表すと$[イ]$である.$x=110 \cdots 0_{(2)} (a_1=1,\ a_2=\cdots =a_n=0)$のとき,$x$を$n$で表すと$[ウ]$である.
このような$x=1 a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$に対し,$x^\prime=1 a_2a_3 \cdots a_n{a_1}_{(2)}$とする.$x=x^\prime$となるようなすべての$x$を$n$で表すと$[エ]$である.
$x=110 \cdots 00_{(2)}$のとき,$x-x^\prime$を$n$で表すと$[オ]$である.
$x>x^\prime$となるような$x$は$[カ]$個ある.$x-x^\prime=1$となる$x$を$n$で表すと$[キ]$である.
東京女子大学 私立 東京女子大学 2016年 第2問
$a,\ b,\ c$は,いずれも$1$以上$4$以下の整数とする.自然数$N$を$5$進法で表すと$abc_{(5)}$となり,$7$進法で表すと$cab_{(7)}$となるとき,$N$を$10$進法で表せ.
愛知学院大学 私立 愛知学院大学 2016年 第1問
次の問に答えなさい.

(1)$360$との最小公倍数が$1800$である自然数の個数は$[ア]$である.
(2)$62,\ 96,\ 232$のいずれを割っても余りが$11$となる最大の自然数は$[イ]$である.
(3)$20212_{(3)}$を$5$進法で表すと$[ウ]$である.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする.$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし,$A$の補集合を$\overline{A}$とする.$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし,$B$の補集合を$\overline{B}$とする.$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり,$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である.
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は,$f(x)=[ウ]$である.
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると,$a=[エ]$である.
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である.
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき,定数$a=[カ]$,$b=[キ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると,$\theta=[ク]$である.
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと,$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である.ただし,空欄に入る数は整数である.
(8)$p,\ q$を実数とし,$q>4$とする.座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$,$\mathrm{B}(0,\ 4)$,$\mathrm{C}(1,\ -1)$,$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta=[サ]$である.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)$m$を実数の定数とする.$x$についての$2$つの$2$次不等式

$x^2-4x+3<0 \qquad\hspace{2.65mm} \cdots\cdots \ ①$
$x^2-2mx-8m^2<0 \cdots\cdots \ ②$

を考える.$①$の解は
\[ [ア]<x<[イ] \]
である.
$①$を満たすすべての実数が$②$を満たすような$m$の値の範囲は
\[ m \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}, \frac{[カ]}{[キ]} \leqq m \]
である.
また,$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在しないような$m$の値の範囲は
\[ \frac{[クケ]}{[コ]} \leqq m \leqq \frac{[サ]}{[シ]} \]
である.
(2)$4$進法で表された$123_{(4)}$を$10$進法で表すと,$[スセ]$である.
整数$n$を$4$進法で表したとき,$3$桁になった.このとき,$n$のとり得る値の範囲を$10$進法で表すと
\[ [ソタ] \leqq n \leqq [チツ] \]
である.
$10$進法で表された$3^{20}$を$4$進法で表すと,その桁数は$[テト]$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
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