「連続」について
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国立 信州大学 2010年 第3問ある奇数の自然数$m$から始まる連続する奇数個の自然数の和が2010である．$m$を求めよ．
国立 筑波大学 2010年 第3問$n$を自然数とし，1から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．
(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．
(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
国立 山形大学 2010年 第4問関数$f(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi)=f(x)$を満たす連続な関数とし，$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t) \, dt>0$とする．さらに
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．
国立 福島大学 2010年 第2問図1のような11段の階段がある．この階段を一足で1段上っても2段上ってもよい．また，一足で1段上ることと一足で2段上ることを混ぜて上ってもよい．これらの上り方以外は認められず，連続して2段ずつは上れないものとする．次の問いに答えなさい．
(1)ちょうど5段上る上り方は何通りか求めなさい．
(2)11段上る上り方は何通りか求めなさい．
（図は省略）
(1)ちょうど5段上る上り方は何通りか求めなさい．
(2)11段上る上り方は何通りか求めなさい．
（図は省略）
私立 北海学園大学 2010年 第2問箱の中に赤玉$3$個，青玉$n$個，白玉$7-n$個が入っている．この箱から玉$1$個を取り出してはもとに戻す試行を繰り返す．この試行を$3$回繰り返したとき，赤玉を$1$回，青玉を$2$回取り出す確率が$\displaystyle \frac{9}{250}$であるとする．
(1)$n$の値を求めよ．
(2)$3$回の試行で赤玉，青玉，白玉をそれぞれ$1$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(3)$3$回の試行で白玉を$1$回以上取り出す確率を求めよ．
(4)$2$回連続で同じ色の玉を取り出すか，または，計$3$回同じ色の玉を取り出すまで試行を繰り返す．このとき，赤玉と青玉をそれぞれ$1$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(1)$n$の値を求めよ．
(2)$3$回の試行で赤玉，青玉，白玉をそれぞれ$1$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(3)$3$回の試行で白玉を$1$回以上取り出す確率を求めよ．
(4)$2$回連続で同じ色の玉を取り出すか，または，計$3$回同じ色の玉を取り出すまで試行を繰り返す．このとき，赤玉と青玉をそれぞれ$1$回ずつ取り出す確率を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第1問数列$\{a_n\}$を$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$により定義すると，$a_n$は整数である．次の問いに答えよ．
(1)この数列の連続する$3$項の和は常に偶数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n (-1)^j a_j=-a_1+a_2- \cdots +(-1)^na_n$とおくと，$S_n=(-1)^n a_{n-1} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(1)この数列の連続する$3$項の和は常に偶数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n (-1)^j a_j=-a_1+a_2- \cdots +(-1)^na_n$とおくと，$S_n=(-1)^n a_{n-1} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
私立 関西大学 2010年 第4問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．
(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．
私立 神戸薬科大学 2010年 第3問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めよ．
(1)次の条件をみたす$3$つの実数$x,\ y,\ z$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \leqq y \leqq z \\
x+y+z=6 \\
z-x=2
\end{array} \right. \]
(i) $x$の取りうる値の範囲は$[ ]$である．
(ii) 積$xyz$を$x$の式で表すと$[ ]$である．
(iii) 積$xyz$の取りうる値の範囲は$[ ]$である．
(2)$1$個のさいころを連続して$3$回投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．
(i) $a=b+c$をみたす確率は$[ ]$である．
(ii) $4a=b+c$をみたす確率は$[ ]$である．
(iii) $a>b+c$をみたす確率は$[ ]$である．
(1)次の条件をみたす$3$つの実数$x,\ y,\ z$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \leqq y \leqq z \\
x+y+z=6 \\
z-x=2
\end{array} \right. \]
(i) $x$の取りうる値の範囲は$[ ]$である．
(ii) 積$xyz$を$x$の式で表すと$[ ]$である．
(iii) 積$xyz$の取りうる値の範囲は$[ ]$である．
(2)$1$個のさいころを連続して$3$回投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．
(i) $a=b+c$をみたす確率は$[ ]$である．
(ii) $4a=b+c$をみたす確率は$[ ]$である．
(iii) $a>b+c$をみたす確率は$[ ]$である．