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上智大学 私立 上智大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると,$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる.さらに,$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると,$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり,これより,$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる.
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり,
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり,
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である.

ただし,近似値として,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい.
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$[あ]$,$[い]$,$[う]$の選択肢:

\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}

\end{screen}
京都薬科大学 私立 京都薬科大学 2015年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.

(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は,$x=-1$で最大値をとり,$f(1)=14$を満たす.このとき,$a=[ア]$,$b=[イ]$で,$f(x)$の最大値は$[ウ]$である.
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける.ただし,投げる回数は最大$100$回とする.このとき,ちょうど$n$回($n<100$)投げてやめる確率は$[エ]$で,投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$[オ]$である.また,$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき(最大$100$回),投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$[カ]$である.
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする.このとき,$\mathrm{AB}=[キ]$である.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば,$\mathrm{AC}=[ク]$,$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する.
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である.ただし,$0<\theta<\pi$とする.
(5)ある正の数$a$を底としたときの,$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$,$\log_a 5=1.609$であるとする.また,$\sqrt[4]{10}=1.778$とする.指数関数$y=pa^{-qx}$($p,\ q$は正の数)において,$x=1$のとき$y=10$,$x=5$のとき$y=1$となるならば,$p=[セ]$,$q=[ソ]$である.また,$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である.なお,解答は小数点以下$2$桁で示すこと(必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ).
早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)整数$x,\ y$が$x^2-23y^2=1$を満たすとき,次の問いに答えよ.

(2)$1<x+\sqrt{23}y<49$のとき,$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)$1$より小なる$x+\sqrt{23}y$が最大になるのは$x=[サ]$,$y=[シ]$のときである.

(4)曲線$y=x^2$,$x$軸,および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S$とする.この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める.区間$0 \leqq x \leqq 1$を$n$等分し,$i (1 \leqq i \leqq n)$番目の区間$\displaystyle\frac{(i-1)}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$を底辺とする高さ$\displaystyle \left( \frac{i-\displaystyle\frac{1}{2}}{n} \right)^2$の長方形を考える.これらの長方形の面積の$i$についての総和を$S_n$とする.

(i) $S_n=[ス]$である.
(ii) $\displaystyle |S-S_n| \leq \frac{1}{30000}$となる$n$の最小値は$[セ]$である.
大阪大学 国立 大阪大学 2011年 第1問
$a$を自然数とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする.

(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき,$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ.
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し,点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める.$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ.
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという.自然数$a$の値を求めよ.またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ.ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2010年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で,$a \neq 0$とする.$x=t+\alpha$($\alpha$は定数)とおいて,$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする.このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ.
(2)$R$を正の実数とする.極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ.
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある(単位系は省略).$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており,それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを$E_S$,東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ.簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$,$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.
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「近似値」とは・・・

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