$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．直線$\mathrm{AB}$と放物線とで囲まれる部分の面積を$S$とする．下の問いに答えなさい．

(1)$a=b+1$とするとき，$S$を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{1}{6}$という条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めなさい．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．

(i) $d(a)$を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

(3)$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

実数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=x^4+\frac{8}{3}ax^3-2x^2-8ax$が$x=X$で極大値$Y$をとるとする．$a$の値が変化するとき，点$(X,\ Y)$が描く軌跡を図示せよ．

$xyz$空間上に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ \sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$は，線分$\mathrm{AP}$の長さが$2$で，$a \geqq 0$，$b \geqq 0$となるように動く．このとき線分$\mathrm{AP}$がえがく図形を$F$とする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,\ y$を用いて表せ．
(3)図形$F$，座標平面$x=0$，$y=0$，$z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．
(4)$V$の体積を求めよ．

点$\mathrm{F}(0,\ 1)$を通り，直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする．このとき，曲線$C$を表す方程式は
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．

座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．

(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．

$f(x)=2x^3+(a-1)x^2-a+1$（$a$は$a \neq 1$を満たす実数）とするとき，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$定点を通ることを示し，その座標を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を与える$x$の値$m$を求めよ．
(3)$a$が$a \neq 1$を満たす実数全体を動く．$(2)$の$m$に対し，点$(m,\ f(m))$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，

(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．

(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，

(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．

(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．


(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，

(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．

(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．


(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，

(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．

(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k$，公比$k$の等比数列であるとする．
\begin{itemize}
$k=3$の場合，$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである．
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである．
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする．
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
\end{itemize}