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国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
国立 福島大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
私立 立教大学 2015年 第2問$a$と$b$は$1$以上$5$以下の自然数とし，放物線$C:y=-x^2+ax-b$を定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(2)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わり，それらの$x$座標がともに整数であるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(3)$(2)$のとき，放物線$C$と$x$軸の$2$つの交点の間の距離の最大値と，そのときの$(a,\ b)$の組を求めよ．
(4)$k$は自然数であり，直線$y=kx+1$は放物線$C$と接している．このときの$k$の最大値と，$k$を最大にする$(a,\ b)$の組を求めよ．
(1)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(2)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わり，それらの$x$座標がともに整数であるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(3)$(2)$のとき，放物線$C$と$x$軸の$2$つの交点の間の距離の最大値と，そのときの$(a,\ b)$の組を求めよ．
(4)$k$は自然数であり，直線$y=kx+1$は放物線$C$と接している．このときの$k$の最大値と，$k$を最大にする$(a,\ b)$の組を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また$(1)$，$(3)$に答えなさい．
以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．
以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば，
\[ a_n=\frac{[ア]}{[イ]} \left( \frac{[ウ]}{[エ]} \right)^n+\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
(2)$t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき，
\[ \mathrm{PH}^2=\frac{[キ]}{[ク]}t^2+[ケ]t+\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．
(ii) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき最大値をとる．
(1)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば，
\[ a_n=\frac{[ア]}{[イ]} \left( \frac{[ウ]}{[エ]} \right)^n+\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
(2)$t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき，
\[ \mathrm{PH}^2=\frac{[キ]}{[ク]}t^2+[ケ]t+\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．
(ii) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき最大値をとる．
私立 東京理科大学 2015年 第3問座標平面上に$\mathrm{A}(3,\ 2)$，$\mathrm{B}(8,\ 2)$，$\mathrm{C}(6,\ 6)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$と四角形$\mathrm{ABCD}$の周上の点（頂点を含む）との距離の最小値を$d$とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 1)$，$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 8)$，$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 4)$のとき，$d$はそれぞれ
\[ \sqrt{[ア]},\quad \sqrt{[イ]},\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$のそれぞれの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ，合計$8$枚ある．これらの$8$枚のカードをよく混ぜてから，カードを$1$枚取り出す．このカードを元に戻さないで，もう$1$枚カードを取り出す．$1$回目に取り出したカードの数字を$x$，$2$回目に取り出したカードの数字を$y$として，座標が$(x,\ y)$である点を$\mathrm{P}$とする．
(i) $d=0$，$d=1$，$d=2$となる確率は，それぞれ
\[ \frac{[カ]}{[キ][ク]},\quad \frac{[ケ]}{[コ][サ]},\quad \frac{[シ]}{[ス][セ]} \]
である．
また，$d$が無理数となる確率は，$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}$である．
(ii) $d$の期待値は，
\[ \frac{[テ]}{[ト][ナ]}+\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \sqrt{[ノ]}+\frac{[ハ][ヒ]}{[フ][ヘ][ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．
(1)$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 1)$，$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 8)$，$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 4)$のとき，$d$はそれぞれ
\[ \sqrt{[ア]},\quad \sqrt{[イ]},\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$のそれぞれの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ，合計$8$枚ある．これらの$8$枚のカードをよく混ぜてから，カードを$1$枚取り出す．このカードを元に戻さないで，もう$1$枚カードを取り出す．$1$回目に取り出したカードの数字を$x$，$2$回目に取り出したカードの数字を$y$として，座標が$(x,\ y)$である点を$\mathrm{P}$とする．
(i) $d=0$，$d=1$，$d=2$となる確率は，それぞれ
\[ \frac{[カ]}{[キ][ク]},\quad \frac{[ケ]}{[コ][サ]},\quad \frac{[シ]}{[ス][セ]} \]
である．
また，$d$が無理数となる確率は，$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}$である．
(ii) $d$の期待値は，
\[ \frac{[テ]}{[ト][ナ]}+\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \sqrt{[ノ]}+\frac{[ハ][ヒ]}{[フ][ヘ][ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．
私立 広島工業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$9$人が無記名で$3$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちの$1$人に必ず投票するとき，開票結果は何通りあるか求めよ．
(2)$y=\sin 2x$のグラフを$x$軸方向へ$a$だけ，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したら，$\displaystyle y=-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-2$のグラフと一致した．定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}(-8,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$のとき，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最小値を求めよ．
(1)$9$人が無記名で$3$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちの$1$人に必ず投票するとき，開票結果は何通りあるか求めよ．
(2)$y=\sin 2x$のグラフを$x$軸方向へ$a$だけ，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したら，$\displaystyle y=-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-2$のグラフと一致した．定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}(-8,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$のとき，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最小値を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第3問楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$は次の条件を満たすとする．
\begin{itemize}
楕円$C$は点$\mathrm{A}(0,\ -1)$を通る
楕円$C$の右焦点と直線$x-y+2 \sqrt{2}=0$の距離は$3$である（ただし，楕円の右焦点とは，楕円の$2$つの焦点のうち，$x$座標が正のものをさす．）
\end{itemize}
(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ p)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り，次の条件を満たす直線$\ell$が$p$の値によって何本引けるかを調べなさい．
\begin{itemize}
直線$\ell$は楕円$C$と異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わり，$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$が成り立つ．
\end{itemize}
\begin{itemize}
楕円$C$は点$\mathrm{A}(0,\ -1)$を通る
楕円$C$の右焦点と直線$x-y+2 \sqrt{2}=0$の距離は$3$である（ただし，楕円の右焦点とは，楕円の$2$つの焦点のうち，$x$座標が正のものをさす．）
\end{itemize}
(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ p)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り，次の条件を満たす直線$\ell$が$p$の値によって何本引けるかを調べなさい．
\begin{itemize}
直線$\ell$は楕円$C$と異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わり，$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$が成り立つ．
\end{itemize}
私立 獨協医科大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．
(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．