座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$をとり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$0$になるような点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$の集合を$S$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$\ell$とする．球面$S$と直線$\ell$のすべての共有点について，その座標を求めよ．

ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{C}(4,\ 3,\ 5)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)平面$\mathrm{OAB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を適当な実数$s,\ t,\ u$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表したとき，$s,\ t,\ u$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離を求めよ．

$a$を定数とし，$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とする．媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\cos^3 t \\
y=\sin^3 t \phantom{2^{\mkakko{}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right. \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．また，$C$の$0 \leqq t \leqq a$の部分の長さを$L$とする．

(1)$L$を$a$を用いて表せ．ただし，$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき，$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ．

$a,\ b$を実数とし，$b<a$とする．焦点が$(0,\ a)$，準線が$y=b$である放物線を$P$で表すことにする．すなわち，$P$は点$(0,\ a)$からの距離と直線$y=b$からの距離が等しい点の軌跡である．

(1)放物線$P$の方程式を求めよ．
(2)焦点$(0,\ a)$を中心とする半径$a-b$の円を$C$とする．このとき，円$C$と放物線$P$の交点を求めよ．
(3)円$C$と放物線$P$で囲まれた図形のうち，放物線$P$の上側にある部分の面積を求めよ．

方程式$x-(y-k)^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}((t-k)^2,\ t)$があって，点$\mathrm{P}$と点$(k^2,\ 0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k>0$とする．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．