「費用」について
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私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第4問棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
公立 福岡女子大学 2014年 第1問新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり，$r$年目（$r=2,\ 3,\ 4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
公立 福岡女子大学 2014年 第1問新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり，$r$年目（$r=2,\ 3,\ 4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問ある企業が毎年$x$リットルの液体製品を製造している．生産するための総費用を$c$，設備の規模を$k$とする．製品1リットルの価格を$p$とし
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．
(1)$p=15,\ k=1$のとき，$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる．
(2)生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である．
(3)$p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる．
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．
(1)$p=15,\ k=1$のとき，$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる．
(2)生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である．
(3)$p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる．
国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．製品を製造した後，検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに答えよ．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．
公立 釧路公立大学 2010年 第1問経済学において，企業とは自社の利益を最大にすることを目標に活動している組織であり，企業の利益は「売上総額$-$生産費用」で計算されると考えられている．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．