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北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2016年 第4問
四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について,$14 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+9 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+7 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとする.四面体$\mathrm{OABC}$,$\mathrm{PABC}$の体積をそれぞれ$V_1$,$V_2$とするとき,$V_1:V_2$を以下の手順で求めよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{BC}$を$7:9$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか説明せよ.
(4)$V_1:V_2$を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2015年 第3問
関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある.以下の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の増減を調べ,グラフの概形を描け.
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ.
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ.
[補足説明] \ 必要ならば,自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい.
三重大学 国立 三重大学 2015年 第3問
関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある.以下の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の増減を調べ,グラフの概形を描け.
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ.
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ.
[補足説明] \ 必要ならば,自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2015年 第3問
二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ.ただし,関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.

【補足説明】$(2)$~$(5)$は,$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること.

(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき,$a=0$,$b=3$となることを示せ.
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が,$L_1:y=4x-1$,$L_2:y=-4x-1$になることを示せ.
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を,$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ.
宮城大学 公立 宮城大学 2015年 第3問
ともに目盛りのない$3 \, \ell$の容器$\mathrm{A}$と$5 \, \ell$の容器$\mathrm{B}$を一つずつ用いるとき,次の問いに答えなさい.

(1)$4 \, \ell$の水を量る手順を,次の例にならって説明しなさい.
(例)$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$,$\mathrm{B}$に$0 \, \ell$の水が入っている状態を$\mathrm{AB}(3,\ 0)$で表す.また,はじめに$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$の水を入れ,次に,$\mathrm{B}$に$5 \, \ell$の水を入れていくとき,
\[ \mathrm{AB}(0,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 5) \]
のように表すものとする.
(2)$n \, \ell$以上の水が量れることを,数学的帰納法を用いて証明しなさい.ただし,$n$は$9$以上の自然数とする.
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2015年 第1問
次の問に答えなさい.

(1)$2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$,$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい.
(2)ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった.このとき,もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい.
\begin{jituwaku}
$\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により,$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る.これは,$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから,$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる.よって,$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる.
\end{jituwaku}
(3)$2$次方程式$x^2+px+q=0$において,$p,\ q$は有理数とする.$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき,もう一方の解$\beta$を求めなさい.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2015年 第1問
以下の問いの空欄$[ア]$~$[ケ]$に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

(1)$x$および$y$は実数とする.点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき,$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$,最小値は$[イ]$となる.
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える.この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると,円の半径$r$の値は$[ウ]$,正$12$角形の面積は$[エ]$である.
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある.タイルは長方形で,縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$,$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$,$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である.$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく,はみ出ないように貼り付けるとき,$[オ]$通りの貼り付け方が存在する.必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする.また,タイルは切断できないものとする.
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき,$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$,$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる.
(5)赤玉が$3$個,白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す.このとき,取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である.少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2015年 第2問
以下の問いの空欄$[サ]$~$[ヌ]$に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り,$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る.$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする.このとき,定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$,$b=[シ]$となる.
(2)点$(1,\ 2)$に関して,円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると,$k=[ス]$となり,対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる.
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり,$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる.
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき,関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると,$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり,$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる.
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+8n$で表されるとき,初項$a_1$は$[ニ]$であり,一般項$a_n$は$[ヌ]$である.
信州大学 国立 信州大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$0<\theta<\pi$のとき,不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする.$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ.

{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である.
琉球大学 国立 琉球大学 2014年 第3問
整数$m,\ n$は$m \geqq 1$,$n \geqq 2$をみたすとする.次の問いに答えよ.

(1)$x>0$のとき,$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ.
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$,$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$,$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする.$S_m$を$m$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく.$f(m)<0$が成り立つことを,$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ.
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて,不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ.
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
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