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国立 浜松医科大学 2014年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
国立 奈良教育大学 2014年 第5問$n$を正の整数とする．次の命題を証明せよ．
(1)$n^2$が奇数ならば，$n$は奇数である．
(2)$n^3$が$5$で割り切れるならば，$n$は$5$で割り切れる．
(1)$n^2$が奇数ならば，$n$は奇数である．
(2)$n^3$が$5$で割り切れるならば，$n$は$5$で割り切れる．
国立 和歌山大学 2014年 第1問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が，$a_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$で定められている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 8<\sum_{k=1}^{40} b_k<9$が成り立つことを示せ．
(1)$n \geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 8<\sum_{k=1}^{40} b_k<9$が成り立つことを示せ．
国立 福井大学 2014年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
国立 浜松医科大学 2014年 第1問$p$を正の実数として，放物線$C:y^2=4px$を定める．$C$の頂点を$\mathrm{O}$，焦点を$\mathrm{F}$，準線を$\ell:x=-p$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) (b>0)$を考えるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし，$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a,\ p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．
以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$とし，接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする．
(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$，線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし，$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a,\ p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．
以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$とし，接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする．
(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$，線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．
国立 浜松医科大学 2014年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．
国立 山形大学 2014年 第4問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
4 & 1 \\
5 & 1
\end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．
(i) $A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
4 & 1 \\
5 & 1
\end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．
(i) $A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 山口大学 2014年 第1問$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
国立 山口大学 2014年 第3問$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
国立 島根大学 2014年 第3問$a_1=2$とし，$f(x)=x^2-3$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a_1,\ f(a_1))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_2$とする．以下同様に，$n=3,\ 4,\ \cdots$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_n$とする．数列$\{a_n\}$に対して，次の問いに答えよ．
(1)$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4)$\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
(1)$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4)$\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．