一般項が$\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}$で表される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$を求めよ．
(3)$2$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle\frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を$k$を用いて表せ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ．
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ．

関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ．
(2)$a$を$0$以上の定数とし，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$を変化させたとき，$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

複素数$z_n$を
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める．ただし，$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする．また，複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$を図示せよ．また，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ，および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$，$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$，$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ．
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ．
(4)$z_n$の実部，虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ．

$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，点$\mathrm{B}(0,\ -\sqrt{2})$がある．点$\mathrm{P}$は
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き，軌跡$C$をえがく．以下の問いに答えよ．

(1)軌跡$C$の方程式を求め，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ．

(2)軌跡$C$の方程式について，導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ．



$a$を実数とする．曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について，以下の問いに答えよ．


\mon[$(3)$] $a=4$のとき，共有点の個数を求めよ．
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ．

$a$を正の定数とする．$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$と$C_2:y=ax^2$の両方に接する直線の本数を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}=0$は証明なしに用いてよい．