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国立 浜松医科大学 2015年 第3問$t$は実数で$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$を満たすとする．平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$，$\mathrm{Q}(1,\ \sin t)$をとる．このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．
国立 福島大学 2015年 第5問実数$x$をこえない最大の整数を$[x]$とし，$\langle x \rangle=x-[x]$とする．また，$a$を定数として次の方程式を考える．
\[ 4 \langle x \rangle^2-\langle 2x \rangle-a=0 \]
ただし，$\langle x \rangle^2$は$\langle x \rangle$の二乗を表すとする．
(1)$x=1.7$のとき$\langle x \rangle$および$\langle 2x \rangle$を求めなさい．
(2)$\alpha$が上の方程式の解ならば，任意の整数$n$について$\alpha+n$も解であることを示しなさい．
(3)上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい．
\[ 4 \langle x \rangle^2-\langle 2x \rangle-a=0 \]
ただし，$\langle x \rangle^2$は$\langle x \rangle$の二乗を表すとする．
(1)$x=1.7$のとき$\langle x \rangle$および$\langle 2x \rangle$を求めなさい．
(2)$\alpha$が上の方程式の解ならば，任意の整数$n$について$\alpha+n$も解であることを示しなさい．
(3)上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第4問三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を共通の比$m:n$に内分する点を，それぞれ，$\mathrm{R}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2,\ |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$の値，および，内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2,\ |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$の値，および，内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい．
国立 福島大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第5問次の問いに答えなさい．
(1)関数$f(x)$が
\[ f(x)=x^2+\int_0^\pi f(t) \sin t \, dt \]
をみたすとき，$f(x)$を求めなさい．
(2)等式
\[ f(x)=x^2+\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t \, dt \]
をみたす関数$f(x)$は存在しないことを示しなさい．
(1)関数$f(x)$が
\[ f(x)=x^2+\int_0^\pi f(t) \sin t \, dt \]
をみたすとき，$f(x)$を求めなさい．
(2)等式
\[ f(x)=x^2+\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t \, dt \]
をみたす関数$f(x)$は存在しないことを示しなさい．
国立 浜松医科大学 2015年 第4問$\alpha,\ \beta$を
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3) \cdots (3n+n)}{(n+1)(n+2)(n+3) \cdots (n+n)} \right)^{\frac{1}{n}} \]
および
\[ \beta=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n^2+1^2)(3n^2+2^2)(3n^2+3^2) \cdots (3n^2+n^2)}{(n^2+1^2)(n^2+2^2)(n^2+3^2) \cdots (n^2+n^2)} \right)^{\frac{1}{n}} \]
とおく．このとき$\alpha<\beta$を示せ．また，$\alpha$と$\beta$の値をそれぞれ求めよ．
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3) \cdots (3n+n)}{(n+1)(n+2)(n+3) \cdots (n+n)} \right)^{\frac{1}{n}} \]
および
\[ \beta=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n^2+1^2)(3n^2+2^2)(3n^2+3^2) \cdots (3n^2+n^2)}{(n^2+1^2)(n^2+2^2)(n^2+3^2) \cdots (n^2+n^2)} \right)^{\frac{1}{n}} \]
とおく．このとき$\alpha<\beta$を示せ．また，$\alpha$と$\beta$の値をそれぞれ求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第3問$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問$u$を任意の実数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(u,\ u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．
(2)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$の接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(3)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の最小値を求めよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(u,\ u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．
(2)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$の接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(3)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の最小値を求めよ．
国立 山口大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
国立 山口大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．
(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．