「証明」について
タグ「証明」の検索結果
（37ページ目：全1924問中361問～370問を表示）
国立 福井大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第4問座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$をとるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第3問下の図のように，$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える．$P_1$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる．さらに，正五角形$P_2$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる．以下，これを繰り返す．正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$，正五角形$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第4問$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(2x-1)(x-2)}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$g(x)=2x^3-6x+5$とする．このとき，$-3<\alpha<-1$かつ$g(\alpha)=0$をみたす$\alpha$が存在することを示せ．さらに，$x<\alpha$では$g(x)<0$であり，$x>\alpha$では$g(x)>0$であることを示せ．
(2)$(1)$の$\alpha$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(1)$g(x)=2x^3-6x+5$とする．このとき，$-3<\alpha<-1$かつ$g(\alpha)=0$をみたす$\alpha$が存在することを示せ．さらに，$x<\alpha$では$g(x)<0$であり，$x>\alpha$では$g(x)>0$であることを示せ．
(2)$(1)$の$\alpha$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
国立 宮城教育大学 2015年 第2問実数$p,\ q$に対して，
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．
(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．
(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．
国立 茨城大学 2015年 第4問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$について，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{BD}$，$\mathrm{CE}$とし，$2$線分$\mathrm{BD}$，$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}=\mathrm{BF} \cdot \mathrm{BD}+\mathrm{CF} \cdot \mathrm{CE}$を示せ．
(2)$\mathrm{BC}^2=\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}$を示せ．
(1)$\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}=\mathrm{BF} \cdot \mathrm{BD}+\mathrm{CF} \cdot \mathrm{CE}$を示せ．
(2)$\mathrm{BC}^2=\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}$を示せ．
国立 滋賀医科大学 2015年 第2問$a<b$とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{C}$とおく．$\angle \mathrm{ACB}={60}^\circ$であるとする．
(1)$a+b=0$のとき，$a$を求めよ．
(2)ある正の実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=-k(1,\ 2a)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=k(1,\ 2b)$と表されることを示せ．
(3)$\displaystyle a<-\frac{\sqrt{3}}{6},\ b>\frac{\sqrt{3}}{6}$を示せ．
(4)$b$を$a$を用いて表せ．
(1)$a+b=0$のとき，$a$を求めよ．
(2)ある正の実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=-k(1,\ 2a)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=k(1,\ 2b)$と表されることを示せ．
(3)$\displaystyle a<-\frac{\sqrt{3}}{6},\ b>\frac{\sqrt{3}}{6}$を示せ．
(4)$b$を$a$を用いて表せ．
国立 鳴門教育大学 2015年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をとります．ただし，これらの点は頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なるものとします．$\triangle \mathrm{ARQ}$，$\triangle \mathrm{RBP}$，$\triangle \mathrm{QPC}$の外接円を，それぞれ$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_3$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が$2$点で交わっているとします．これら$2$つの円が$\mathrm{R}$以外で交わる点を$\mathrm{X}$とするとき，円$\mathrm{O}_3$も$\mathrm{X}$を通ることを証明しなさい．
(2)円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が接しているとき，円$\mathrm{O}_3$は点$\mathrm{R}$を通ることを証明しなさい．
(1)円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が$2$点で交わっているとします．これら$2$つの円が$\mathrm{R}$以外で交わる点を$\mathrm{X}$とするとき，円$\mathrm{O}_3$も$\mathrm{X}$を通ることを証明しなさい．
(2)円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が接しているとき，円$\mathrm{O}_3$は点$\mathrm{R}$を通ることを証明しなさい．