座標平面上の曲線$y=x^2(1-x)$を$C$とし，直線$y=-x$を$\ell$とする．数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$とし，$x=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$における$C$の接線と$\ell$の交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$0<a_{n+1}<{a_n}^2$を示せ．

$m$を実数とする．方程式
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]

関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．

(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．

(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．

(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

実数$p,\ q$に対して，
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．

(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a>0$かつ$b<a^2$）がある．$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$が，$C$および$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QM}}$となるように点$\mathrm{M}$を，また$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$となるように点$\mathrm{N}$をとる．直線$\mathrm{MN}$が$C$と交わる点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．

(1)直線$\mathrm{AP}$および直線$\mathrm{BP}$は，それぞれ$C$の接線であることを示せ．
(2)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる図形の面積は，$\ell$により二等分されることを示せ．