ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=n^4+6n^3+11n^2+6n \]
で表されるとする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=4n(n+1)(n+2)$であることを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を$n$の式で表しなさい．

正の実数$p_i,\ q_i (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$が$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=\sum_{i=1}^n q_i=1$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)不等式$\log x \leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい．
(2)不等式$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \geqq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$\displaystyle F=\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$の最小値を求めなさい．
(4)正の実数$a_i (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$に対して，$\displaystyle G=\sum_{i=1}^n a_i \log a_i$の最小値を求めなさい．

$n$を$2$以上の自然数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^n \log x (x>0)$とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし
\[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \]
とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} (x \geqq 1)$と曲線$C:y=f(x)$について，次に答えよ．

(1)区間$x>1$で，$f(x)$は増加し，曲線$C$は上に凸であることを示せ．
(2)曲線$C$の点$(\sqrt{2},\ f(\sqrt{2}))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)$(3)$で定めた図形$D$の面積$S$を求めよ．

初項$1$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．たとえば，$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$，$b_2=[2]=2$，$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である．数列$\{a_n\}$を次のように，$b_1$個，$b_2$個，$b_3$個，$\cdots$の群に分け，第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする．

$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$

第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．

(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \tan \frac{x}{2}=m$とするとき，等式$\displaystyle \sin x=\frac{2m}{1+m^2},\ \cos x=\frac{1-m^2}{1+m^2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle -\pi<x<\frac{\pi}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sin x+\cos x \geqq \tan \frac{x}{2} \]

下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る．また，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす．$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）

$k,\ m,\ n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$2^k$を$7$で割った余りが$4$であるとする．このとき，$k$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．
(2)$4m+5n$が$3$で割り切れるとする．このとき，$2^{mn}$を$7$で割った余りは$4$ではないことを示せ．