九州工業大学
2015年 工学部 第3問
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$n$を$2$以上の自然数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^n \log x \ \ (x>0)$とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1) $x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2) $\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3) 関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4) $f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし \[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \] とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．
(1) $x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2) $\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3) 関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4) $f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし \[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \] とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．
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コメント（2件）
2015-08-25 18:13:24
作りました。(2)ははさみうちです。 |
2015-08-21 00:39:20
解答を知りたいです。お願いします。 |
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