「証明」について
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（28ページ目：全1924問中271問～280問を表示）
国立 九州大学 2015年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ．
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ．
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ．
国立 九州大学 2015年 第4問袋の中に最初に赤玉$2$個と青玉$1$個が入っている．次の操作を繰り返し行う．
（操作） 袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．
(1)$2$回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．
(2)奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．
(3)$8$回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．
(4)$8$回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど$1$枚である確率を求めよ．
（操作） 袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．
(1)$2$回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．
(2)奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．
(3)$8$回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．
(4)$8$回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど$1$枚である確率を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第3問座標空間内に$5$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A} \left(0,\ 0,\ \frac{3}{4} \right),\quad \mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} \right),\quad \mathrm{C}(s,\ t,\ 0),\quad \mathrm{D}(0,\ u,\ 0) \]
がある．ただし，$s,\ t,\ u$は実数で，$s>0$，$t>0$，$s+t=1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面が$y$軸と点$\mathrm{D}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$u$を$t$を用いて表せ．また，$0<u<1$であることを示せ．
(3)点$(0,\ 1,\ 0)$を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{OE}$を$12:1$に内分するとき，$t$の値を求めよ．
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A} \left(0,\ 0,\ \frac{3}{4} \right),\quad \mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} \right),\quad \mathrm{C}(s,\ t,\ 0),\quad \mathrm{D}(0,\ u,\ 0) \]
がある．ただし，$s,\ t,\ u$は実数で，$s>0$，$t>0$，$s+t=1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面が$y$軸と点$\mathrm{D}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$u$を$t$を用いて表せ．また，$0<u<1$であることを示せ．
(3)点$(0,\ 1,\ 0)$を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{OE}$を$12:1$に内分するとき，$t$の値を求めよ．
国立 金沢大学 2015年 第3問関数$y=\log_3 x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,\ \log_3 t)$，$\mathrm{Q}(u,\ 3^u)$とする．次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
国立 金沢大学 2015年 第2問$a,\ b$は定数で，$ab>0$とする．放物線$C_1:y=ax^2+b$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2+b)$における接線を$\ell$とし，放物線$C_2:y=ax^2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$は点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$は点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．
国立 名古屋工業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，不等式$2 \sqrt{x}>1+\log x$が成り立つことを証明せよ．
(2)関数$y=x \log x (x>0)$のグラフを曲線$C$とする．定数$a$に対し，曲線$C$の接線で点$(a,\ 0)$を通るものは何本あるか．
(3)$(2)$で定められた曲線$C$とその傾き$2$の接線および直線$x=e^{-2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，不等式$2 \sqrt{x}>1+\log x$が成り立つことを証明せよ．
(2)関数$y=x \log x (x>0)$のグラフを曲線$C$とする．定数$a$に対し，曲線$C$の接線で点$(a,\ 0)$を通るものは何本あるか．
(3)$(2)$で定められた曲線$C$とその傾き$2$の接線および直線$x=e^{-2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2015年 第2問$2$つの関数
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．
(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．
(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
国立 旭川医科大学 2015年 第2問$n$を正の整数とする．$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi$の範囲で関数$f(x)=x \sin x$を考える．関数$f(x)$が極大値をとる$x$を$a_n$とし，曲線$y=f(x)$の変曲点を$(b_n,\ f(b_n))$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_n$と$b_n$はそれぞれ唯$1$つあって，$\displaystyle 2n \pi<b_n<2n \pi+\frac{\pi}{2}<a_n<(2n+1) \pi$を満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}(a_n-2n \pi) \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}(b_n-2n \pi) \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}f(b_n) \]
(3)曲線$y=f(x) (2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n$，$\displaystyle x=2n \pi+\frac{\pi}{2}$，$x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．
(4)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}S_1 \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}S_3 \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}(S_4-S_2) \]
(1)$a_n$と$b_n$はそれぞれ唯$1$つあって，$\displaystyle 2n \pi<b_n<2n \pi+\frac{\pi}{2}<a_n<(2n+1) \pi$を満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}(a_n-2n \pi) \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}(b_n-2n \pi) \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}f(b_n) \]
(3)曲線$y=f(x) (2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n$，$\displaystyle x=2n \pi+\frac{\pi}{2}$，$x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．
(4)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}S_1 \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}S_3 \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}(S_4-S_2) \]
国立 金沢大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はどの$2$つも互いに垂直であり，$h>0$に対して，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=h \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$は，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のどちらとも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$は，辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=h \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$は，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のどちらとも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$は，辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ．
国立 岡山大学 2015年 第2問座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$をとり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$0$になるような点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$の集合を$S$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$\ell$とする．球面$S$と直線$\ell$のすべての共有点について，その座標を求めよ．
(1)集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$\ell$とする．球面$S$と直線$\ell$のすべての共有点について，その座標を求めよ．