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私立 津田塾大学 2016年 第3問空間内の異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一平面上にないとし，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{BC}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．
(1)$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$|\overrightarrow{b}|^2=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$であることを示せ．
(2)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AB}^\prime$，$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AC}^\prime$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=k \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=l \overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|^2=k|\overrightarrow{b}|^2=l|\overrightarrow{c}|^2$であることを示せ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{AC}^\prime=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$k,\ l$を用いて表せ．
(1)$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$|\overrightarrow{b}|^2=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$であることを示せ．
(2)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AB}^\prime$，$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AC}^\prime$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=k \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=l \overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|^2=k|\overrightarrow{b}|^2=l|\overrightarrow{c}|^2$であることを示せ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{AC}^\prime=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$k,\ l$を用いて表せ．
私立 津田塾大学 2016年 第3問$a$を正の定数とし，放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$における接線を$\ell_1$とする．ただし，$t>0$である．
(1)$\ell_1$と$x$軸との交点を通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$は$\mathrm{P}$によらない定点を通ることを示せ．
(2)$x$軸に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_3$とする．$\ell_3$と$C$の$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$C$と直線$\mathrm{QR}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$\ell_1$と$x$軸との交点を通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$は$\mathrm{P}$によらない定点を通ることを示せ．
(2)$x$軸に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_3$とする．$\ell_3$と$C$の$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$C$と直線$\mathrm{QR}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
私立 同志社大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} (x>0)$として，次の問いに答えよ．
(1)閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2)$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4)上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} (x>0)$として，次の問いに答えよ．
(1)閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2)$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4)上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
私立 北里大学 2016年 第3問双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2=1$に対し，双曲線上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．
(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ．
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ．
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする．双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める．ただし，$d>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ．
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ．
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする．双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める．ただし，$d>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ．
私立 明治大学 2016年 第3問$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする．$n$チームが参加するサッカーの大会がある．この大会では，全てのチームが$k$回の試合を行う．但し，その$k$試合の対戦相手は，全て異なるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が，何通りあるかもとめよ．
(2)$n=6,\ k=3$のとき，$1$つの大会の試合の総数をもとめよ．
(3)一般に，この大会が成立するためには，$n$か$k$のどちらかが，偶数でなければならないことを示せ．
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し，試合数で割った値を，その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする．
$n=9$のとき，各チームが$k$試合行う大会における，$1$試合の平均得点が，$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする．$1$つの大会における総得点が，もっとも多くなる$k$をもとめよ．
(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が，何通りあるかもとめよ．
(2)$n=6,\ k=3$のとき，$1$つの大会の試合の総数をもとめよ．
(3)一般に，この大会が成立するためには，$n$か$k$のどちらかが，偶数でなければならないことを示せ．
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し，試合数で割った値を，その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする．
$n=9$のとき，各チームが$k$試合行う大会における，$1$試合の平均得点が，$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする．$1$つの大会における総得点が，もっとも多くなる$k$をもとめよ．
私立 学習院大学 2016年 第2問すべての自然数$n$に対して
\[ \frac{n^3}{6}-\frac{n^2}{2}+\frac{4n}{3} \]
は整数であることを証明せよ．
\[ \frac{n^3}{6}-\frac{n^2}{2}+\frac{4n}{3} \]
は整数であることを証明せよ．
私立 獨協医科大学 2016年 第4問次の問いに答えなさい．ただし，$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$～$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを，下の選択肢$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい．
複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式
$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$
を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して
$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$
ことを，数学的帰納法により証明する．
(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから，$(*)$が成り立つ．
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する．
まず$①,\ ②$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である．ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ．$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より，これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない．ところが，このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ．
$(ⅰ),\ (ⅱ)$より，すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ．
$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式
$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$
を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して
$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$
ことを，数学的帰納法により証明する．
(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから，$(*)$が成り立つ．
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する．
まず$①,\ ②$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である．ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ．$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より，これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない．ところが，このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ．
$(ⅰ),\ (ⅱ)$より，すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ．
$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
私立 甲南大学 2016年 第4問$a,\ b$は正の実数で，$b<1$とする．
\[ c=a-b-ab,\quad I=\int_0^a \frac{x}{1+x} \, dx+\int_0^{-b} \frac{x}{1+x} \, dx-ab \]
とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$c>-1$が成り立つことを証明せよ．
(2)等式$I=c-\log (c+1)$が成り立つことを証明せよ．
(3)不等式$I \geqq 0$が成り立つことを証明せよ．また，$I=0$が成り立つための$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
\[ c=a-b-ab,\quad I=\int_0^a \frac{x}{1+x} \, dx+\int_0^{-b} \frac{x}{1+x} \, dx-ab \]
とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$c>-1$が成り立つことを証明せよ．
(2)等式$I=c-\log (c+1)$が成り立つことを証明せよ．
(3)不等式$I \geqq 0$が成り立つことを証明せよ．また，$I=0$が成り立つための$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
私立 岡山理科大学 2016年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．