「証明」について
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(193ページ目:全1924問中1921問~1930問を表示)![富山県立大学](./img/univ/toyamakenritsu.png)
方程式$\displaystyle \log (2x)-\log (4x) \log \left( \frac{4}{x} \right)=0$について,次の問いに答えよ.ただし,対数は常用対数である.
(1)この方程式が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ.
(2)$\alpha,\ \beta$は,この方程式の異なる$2$つの実数解で,$\alpha<\beta$とする.$\alpha,\ \beta,\ 1,\ 2$を小さい順に並べよ.
(1)この方程式が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ.
(2)$\alpha,\ \beta$は,この方程式の異なる$2$つの実数解で,$\alpha<\beta$とする.$\alpha,\ \beta,\ 1,\ 2$を小さい順に並べよ.
![岐阜薬科大学](./img/univ/gihuyakka.png)
次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある.
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また,点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし,半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ.
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{B}_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ.
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また,点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし,半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ.
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{B}_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ.
![横浜市立大学](./img/univ/yokohamashiritsu.png)
$n$は自然数とする.$1$以上の実数$a,\ d$と正の実数$b,\ c$を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
に対し,$n$個の積$A^n$を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^1=A \]
とおく.また,$0<v \leqq u$をみたす実数$u,\ v$と正の実数$\lambda$に対して,$A$は等式
\[ A \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right) \]
をみたすとする.以下の問いに答えよ.
(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \]
を示せ.
(2)$M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方($b=c$の場合はどちらでも良い)とするとき,不等式
\[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \]
を示せ.
(3)数列
\[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \]
の極限値を求めよ.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
に対し,$n$個の積$A^n$を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^1=A \]
とおく.また,$0<v \leqq u$をみたす実数$u,\ v$と正の実数$\lambda$に対して,$A$は等式
\[ A \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right) \]
をみたすとする.以下の問いに答えよ.
(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \]
を示せ.
(2)$M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方($b=c$の場合はどちらでも良い)とするとき,不等式
\[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \]
を示せ.
(3)数列
\[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \]
の極限値を求めよ.
![横浜市立大学](./img/univ/yokohamashiritsu.png)
$a>0$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$0 \leqq x \leqq a$をみたす$x$に対して
\[ 1+x \leqq e^x \leqq 1+\frac{e^a-1}{a}x \]
を示せ.
(2)$(1)$を用いて
\[ 1+a+\frac{a^2}{2}<e^a<1+\frac{a}{2}(e^a+1) \]
を示せ.
(3)$(2)$を用いて
\[ 2.64<e<2.78 \]
を示せ.
(1)$0 \leqq x \leqq a$をみたす$x$に対して
\[ 1+x \leqq e^x \leqq 1+\frac{e^a-1}{a}x \]
を示せ.
(2)$(1)$を用いて
\[ 1+a+\frac{a^2}{2}<e^a<1+\frac{a}{2}(e^a+1) \]
を示せ.
(3)$(2)$を用いて
\[ 2.64<e<2.78 \]
を示せ.