図のような$\mathrm{OA}=m,\ \mathrm{OB}=n$である三角形$\mathrm{OAB}$が \\
ある．辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{C}$とする． \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を \\
$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=k$とする．以下の問いに答えなさい．
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(1)$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(2)内積$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c})$と$(\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c})$を$k,\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(3)$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$であることを示しなさい．

座標空間内に原点Oを通らない平面$\alpha$がある．原点から平面$\alpha$に垂線OHを下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)Pを平面$\alpha$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$を示せ．
(2)平面$\alpha$が3点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(3,\ 0,\ 1)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$を通るとき，点Hの座標を求めよ．

2次の正方行列$A$の表す1次変換を$f$とする．(すなわち，行列$A$で表される座標平面上の点の移動を$f$とする．) \ $f$により，点$(1,\ 1)$は点$(2,\ 2)$に移り，点$(1,\ -1)$は点$(-1,\ 1)$に移る．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．

次の問いに答えよ．

\mon[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で，$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする．

\mon[(1)] $a+d=5$であることを示せ．
\mon[(2)] このような$A$をすべて求めよ．

\mon[問2]
\[ a_1=1, a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．

\mon[(1)] すべての正の整数$n$に対し，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ．
\mon[(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．
\mon[(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

正整数$a$と正の奇数$p,\ q$が
\[ 2^a+p^2=q^4 \]
を満たしているとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$q^2-p=2$を証明せよ．
(2)$q$を全て求めよ．

空間の3点A，B，Cは同一直線上にはないものとし，原点をOとする．空間の点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が，$x+y+z=1$を満たす正の実数$x,\ y,\ z$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}} +z\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとする．

(1)直線APと直線BCは交わり，その交点をDとすれば，DはBCを$z:y$に内分し，PはADを$(1-x):x$に内分することを示せ．
(2)$\triangle$PAB，$\triangle$PBCの面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とすれば，
\[ \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x} \]
が成り立つことを示せ．

単位行列$E$の実数倍ではない行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．$A$で表わされる$xy$平面上の移動を$f$とする．

(1)$A^2=kE$を満たす実数$k$が存在するための必要十分条件は，$a+d=0$であることを示せ．
(2)$a+d=0$のとき，原点Oとは異なる点Pで，$f(P)$が直線OP上にあるものが存在すれば，$a^2+bc \geqq 0$であることを示せ．
(3)$a+d=0$かつ$a^2+bc \geqq 0$であるとする．このとき$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおけば，$(A-\lambda E)(A+\lambda E)=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は零行列とする．
(4)(3)の仮定のもとで，$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおく．原点Oとは異なる点Pで，$\text{Q}=f(P)$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となるものが存在することを示せ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=7a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の問いに答えよ．

(1)$a_{n+3}$を$a_n,\ a_{n+1}$で表せ．
(2)$a_{3n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$a_{4n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が3の倍数となることを示せ．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表わす．

(1)すべての自然数$n$に対して，$S_n=2a_n-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_n+n^2-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)$a_1=1,\ a_2=1$とし，すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を満たす数列を$\{a_n\}$とする．このとき，すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_{n+2}-1$および$S_n<3a_n$が成り立つことを示せ．