次の各問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．

0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]

次の問いに答えよ．

(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．

\mon[(i)] 最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)] 最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．

(2)$a,\ b,\ c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．

2次の正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$t$の2次方程式
\[ t^2-(a+d)t+ad-bc=0 \cdots\cdots \ (*) \]
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)$(*)$の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，
\[ (A-\beta E) \biggl( \begin{array}{c}
b \\
y
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr) \]
をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．

平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．

(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．

$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．

(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

$k$を正の定数とする．直線$y=kx$を$\ell$とし，原点Oを通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．2次正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．$f$により，直線$\ell$上の点は自分自身に移り，直線$m$上の点は原点に移るとする．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pの$f$による像をQとする．

\mon[(i)] 点Qは直線$\ell$上の点であることを示せ．
\mon[(ii)] 点Pが直線$\ell$上の点でないとき，直線PQと直線$\ell$は垂直であることを示せ．
\mon[(iii)] 3点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 2)$を頂点とする三角形の辺上を点Pが動くとき，点Qの動く範囲を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$のそれぞれの大きさを$A,\ B,\ C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け．
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A,\ B,\ C$を求めよ．

ベクトル$\overrightarrow{x_1}=(0,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{x_2}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{x_3}=(1,\ 1,\ 0)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{b_1}=\frac{\overrightarrow{x_1}}{|\overrightarrow{x_1}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}|$を最小にする実数$s$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_2}=\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{b_2}=\frac{\overrightarrow{y_2}}{|\overrightarrow{y_2}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1} - u \overrightarrow{b_2}|$を最小にする実数$t,\ u$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_3}=\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1}-u \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{b_3}=\frac{\overrightarrow{y_3}}{|\overrightarrow{y_3}|}$とおくとき，$\overrightarrow{b_1},\ \overrightarrow{b_2},\ \overrightarrow{b_3}$は互いに直交することを示せ．

四面体OABCと，Oと異なる点Gが与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\text{AG}^2=\text{OG}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{OA}^2$を示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積を表す．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとき，
\[ a\text{AG}^2+b\text{BG}^2+c\text{CG}^2=a\text{OA}^2+b\text{OB}^2+c\text{OC}^2 \]
が成り立つための実数$a,\ b,\ c$についての条件を求めよ．