$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

$xy$平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ t \right)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq t<1 \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q}(\alpha,\ 0)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq \alpha \leqq 1 \right)$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB} \leqq {90}^\circ$を示せ．
(3)$\ell$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ．
(4)$(3)$の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{a|}=2$，$|\overrightarrow{b|}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{c|}=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\frac{4}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
(3)$I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ．
(4)$(3)$までの結果を用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ．

放物線$C:y=x^2+2ax+b$について次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．

(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．

放物線$C:y=x^2+2ax+b$について次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．

(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．

$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．