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浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2012年 第2問
$24$時間診療業務を休みなく行う病院において,$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える.$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり,$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする.さて,病院における在庫管理では,「品切れ」が起きないこと,「コスト」をできるだけ低くすること,この$2$つが肝要である.医療材料$\mathrm{A}$の保管費は,その保管期間に比例し,$1$個につき$10$日間で$1$円である.また,納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば,注文量の多少に関わらず,品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる.なお,担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており,品切れになる直前という最適のタイミングで,注文した量が届くものとする.われわれは,保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める.以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする.そして注文する量は毎回一定として,$x$で表す.このとき,時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを,横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ.(図示する際には,適当な$x$の値を自ら設定すること.)
以下,$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する.
(2)周期的な$y$の変動に留意して,平均在庫量を求めよ.
(3)長期にわたる保管費,事務費の総額をそれぞれ見積もり,保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ.さらに,この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ.
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