$24$時間診療業務を休みなく行う病院において，$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える．$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり，$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この$2$つが肝要である．医療材料$\mathrm{A}$の保管費は，その保管期間に比例し，$1$個につき$10$日間で$1$円である．また，納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる．なお，担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届くものとする．われわれは，保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問いに答えよ．
(1) $\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら設定すること．）
以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．
(2) 周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3) 長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．