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私立 明治大学 2012年 第3問$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．
(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．
(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．
(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．
(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．
(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．
(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．
私立 立教大学 2012年 第3問座標平面上に2点A$(-1,\ 3)$，B$(5,\ 15)$と直線$\ell$が与えられており，2点A，Bは直線$\ell$に関して対称な位置にある．直線$\ell$が$y$軸と交わる点をCとし，線分ABの中点をMとする．線分MA上に，点Mと異なる点Pをとる．このとき次の問(1)～(4)に答えよ．
(1)点Mの座標と直線ABの方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pの$x$座標を$t$とする．$\angle \text{PCM}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(4)直線$\ell$に関して，点Pと対称な点をQとする．三角形PCQが正三角形となるとき，$t$の値を求めよ．
(1)点Mの座標と直線ABの方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pの$x$座標を$t$とする．$\angle \text{PCM}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(4)直線$\ell$に関して，点Pと対称な点をQとする．三角形PCQが正三角形となるとき，$t$の値を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第3問座標平面上に円$x^2+y^2=4$と円上の点$\mathrm{P}(1,\ -\sqrt{3})$，$\mathrm{Q}(-1,\ -\sqrt{3})$が与えられている．$0<\theta<\pi$のとき，円上の点を$\mathrm{R}(2\cos \theta,\ 2\sin \theta)$とし，$\angle \mathrm{QPR}=\alpha,\ \angle \mathrm{PQR}=\beta$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．
(1)点$(2,\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-2,\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，弧$\mathrm{PAR}$に対する中心角と弧$\mathrm{QBR}$に対する中心角を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$2 \sin \alpha=\sqrt{3} \sin \beta$となるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(1)点$(2,\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-2,\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，弧$\mathrm{PAR}$に対する中心角と弧$\mathrm{QBR}$に対する中心角を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$2 \sin \alpha=\sqrt{3} \sin \beta$となるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第2問正の数$a$に対して，空間内の$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{a}},\ 0,\ 0 \right)$，$\mathrm{B} (0,\ \sqrt{a},\ 0)$，$\mathrm{C} (0,\ 0,\ \sqrt{a})$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$a$で表せ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$を$\theta$とおく．$\cos \theta$を$a$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S}{\mathrm{BC}}$が最小値をとるときの$a$の値とその最小値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$a$で表せ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$を$\theta$とおく．$\cos \theta$を$a$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S}{\mathrm{BC}}$が最小値をとるときの$a$の値とその最小値を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である．
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である．このとき，$(x,\ y,\ z)=[イ]$である．ただし，$x>0$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする．
(3)$i$を虚数単位として，複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える．$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき，$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である．
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき，$x^2+y$の最小値は$[エ]$である．
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から，$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$，$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり，$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である．
(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である．
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である．このとき，$(x,\ y,\ z)=[イ]$である．ただし，$x>0$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする．
(3)$i$を虚数単位として，複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える．$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき，$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である．
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき，$x^2+y$の最小値は$[エ]$である．
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から，$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$，$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり，$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である．
私立 自治医科大学 2012年 第15問辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$のそれぞれの長さが，$6$，$5$，$7$となる三角形$\mathrm{ABC}$について考える．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{12L}{\sqrt{105}}$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x$の$2$次方程式$ax^2+bx+2=0$の$2$つの解が$3$と$6$であるような定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の$2$次関数$y=-x^2+2ax-4a+1$の最大値が$0$以下となるような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表す．$B=30^\circ$，$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\frac{1}{2}$であり，この三角形の外接円の半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$A$と$C$を求めよ．またこのとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)$x$の$2$次方程式$ax^2+bx+2=0$の$2$つの解が$3$と$6$であるような定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の$2$次関数$y=-x^2+2ax-4a+1$の最大値が$0$以下となるような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表す．$B=30^\circ$，$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\frac{1}{2}$であり，この三角形の外接円の半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$A$と$C$を求めよ．またこのとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第3問$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=x+2$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AD}=y$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,\ r_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{3}{2}$を満たしている．ただし，$x$と$y$は定数とし，$x>0$，$y>0$とする．
(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．
私立 東北学院大学 2012年 第1問角$\mathrm{C}$を直角とする直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{D}$，$\mathrm{H}$を次のようにとる．$\angle \mathrm{CHB}=90^\circ$とし，$\mathrm{D}$を$\mathrm{H}$に関し，$\mathrm{B}$と反対側に$\mathrm{DH}=2$とする．また，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{CD}$とし，$\angle \mathrm{CDH}=60^\circ$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\sin A$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ADC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\sin A$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ADC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
私立 甲南大学 2012年 第2問座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，点$\mathrm{B}(0,\ b)$，点$\mathrm{C}(c,\ 0)$がある．ただし，$b>2$，$c>2$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，$\angle \mathrm{OCA}=\alpha$，$\angle \mathrm{OCB}=\beta$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\tan \alpha$を$c$で表せ．また，$\tan \beta$を$b,\ c$で表せ．
(2)$\tan \theta$を$b,\ c$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$を$c$で表せ．
(4)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$と$c$がともに整数となるような$(b,\ c)$の組をすべて求めよ．
(1)$\tan \alpha$を$c$で表せ．また，$\tan \beta$を$b,\ c$で表せ．
(2)$\tan \theta$を$b,\ c$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$を$c$で表せ．
(4)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$と$c$がともに整数となるような$(b,\ c)$の組をすべて求めよ．