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国立 大分大学 2016年 第3問中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$a$の定円$C_1$上を，半径$\displaystyle \frac{a}{4}$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}(a,\ 0)$にあるとする．円$C_2$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．
(1)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 長崎大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
国立 秋田大学 2016年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
国立 奈良女子大学 2016年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．正の数$m$に対して，線分$\mathrm{PC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ m$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{b|}=3$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ m$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{b|}=3$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 秋田大学 2016年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
国立 秋田大学 2016年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
国立 山口大学 2016年 第4問点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$に対して，点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$と点$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$は
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．