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国立 山梨大学 2015年 第5問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(-6,\ 0)$をとる．また，曲線
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする．曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」
また， 各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を$\mathrm{A}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$，$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．」
(1)$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ．
(3)$x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(5)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$，曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする．曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」
また， 各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を$\mathrm{A}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$，$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．」
(1)$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ．
(3)$x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(5)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$，曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とします．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{CE}$となるようにとります．ただし，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なるものとします．次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めなさい．
(3)$\mathrm{DE}$の長さが$2 \sqrt{2}$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)四角形$\mathrm{DBCE}$の面積が最小となる$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．また，そのときの四角形$\mathrm{DBCE}$の面積を求めなさい．
(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めなさい．
(3)$\mathrm{DE}$の長さが$2 \sqrt{2}$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)四角形$\mathrm{DBCE}$の面積が最小となる$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．また，そのときの四角形$\mathrm{DBCE}$の面積を求めなさい．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$は，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{2}{3} \pi$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$を満たす．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．