長さ$3$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上を点$\mathrm{P}$が動いている．$\angle \mathrm{PAB}={15}^\circ$のとき，$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{[キ] \left( \sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]} \right)}{[コ]}$である．また，$\angle \mathrm{PAB}=\theta$とおくとき，$\sqrt{3} \mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の値が最大となるのは，$\displaystyle \theta=\frac{[サ]}{[シ]} \pi$のときで，最大値は$[ス]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$内に点$\mathrm{P}$があり，直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点は辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分し，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表すと$(s,\ t)=[　]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$\cos \angle \mathrm{PAB}=[　]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$内に点$\mathrm{P}$があり，直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点は辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分し，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表すと$(s,\ t)=[　]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$\cos \angle \mathrm{PAB}=[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．

$3$次方程式$x^3+3x^2+3x-7=0$の$3$つの解のうち，実数解を$\alpha$とし，他の$2$つの解を$\beta,\ \gamma$とする．複素平面上の点を$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さは$[　]$であり，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさは$[　]$である．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=3$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$である．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さは$[$31$]$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$[$32$]$である．

(3)円の半径は$\displaystyle \frac{[$33$] \sqrt{[$34$]}}{[$35$]}$である．

(4)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$36$] \sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．$\displaystyle \cos \theta=-\frac{3}{4}$のとき，
\[ \sin \theta=\frac{\sqrt{[$31$]}}{[$32$]},\quad \tan \theta=-\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]} \]
である．
(2)$2$直線$y=-x$と$y=\sqrt{3}x$のなす角$\theta$は${[$35$]}^\circ$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\mathrm{CA}=6$であるとき，
\[ \angle \mathrm{B}={[$36$]}^\circ,\quad \mathrm{AB}=[$37$] \sqrt{[$38$]},\quad \mathrm{BC}=[$39$]+[$40$] \sqrt{[$41$]}, \]
$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$42$] \sqrt{[$43$]}$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$とする．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$の長さは$[$42$]$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}}{[$45$]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[$46$] \sqrt{[$47$]}}{[$48$]}$である．

(4)$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さは$\displaystyle \frac{[$49$]}{[$50$]}$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)下の図において，$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$の値を，それぞれ求めなさい．

（図は省略）

(2)$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{5}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めなさい．ただし，$\theta$は鋭角とする．
(3)下の図において，$100 \, \mathrm{m}$離れた$2$地点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から，上空の飛行物体$\mathrm{X}$を見ると$\angle \mathrm{XAB}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{XBA}={75}^\circ$であった．また，$\mathrm{B}$から$\mathrm{X}$を見上げたときの角度は${30}^\circ$であった．このとき，$\mathrm{X}$と$\mathrm{B}$の標高差にあたる$\mathrm{XH}$を求めなさい．
（図は省略）

以下の各問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \sin ({90}^\circ-\theta)=\frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$の値を，それぞれ求めなさい．ただし，$\theta$は鋭角とする．
(2)下の図において，$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$を，それぞれ求めなさい．

（図は省略）

(3)下の図において，海抜$0 \, \mathrm{m}$の地点$\mathrm{A}$から飛行物体$\mathrm{X}$を見上げた角度は${45}^\circ$であった．次にこの飛行物体$\mathrm{X}$に向かって水平に$20 \, \mathrm{m}$近づいた地点$\mathrm{B}$から$\mathrm{X}$を見上げたときの角度は${60}^\circ$であった．このとき，飛行物体$\mathrm{X}$の高度にあたる$\mathrm{XH}$を求めなさい．
（図は省略）