$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点を移動する点$\mathrm{P}$があり，初め頂点$\mathrm{A}$にいる．その後，$1$秒毎に，以下の規則に従ってその位置を変化させる．

(i) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ii) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(iii) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる．

初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$を次の規則で移動させる．一枚の硬貨を投げて，表が出れば$\mathrm{P}$を$+1$だけ移動させ，裏が出れば$\mathrm{P}$を原点に関して対称な点に移動させる．$\mathrm{P}$は初め原点にあるとし，硬貨を$n$回投げた後の$\mathrm{P}$の座標を$a_n$とする．

(1)$a_3=0$となる確率を求めよ．
(2)$a_4=1$となる確率を求めよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，$a_n=n-3$となる確率を$n$を用いて表せ．

$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_2$の値を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n$を$2$以上の整数とする．不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ．ただし，$p_1=0$とする．

$1 \leqq n<m$をみたす自然数の組を$(m,\ n)$と表し，これらを次の規則で順番に並べる．

(i) $1$番目は組$(2,\ 1)$とする．
(ii) $k$番目が組$(m,\ n)$のとき，
$n<m-1$ならば，$k+1$番目は組$(m,\ n+1)$とし，
$n=m-1$ならば，$k+1$番目は組$(m+1,\ 1)$とする．

例えば，$2$番目の組は$(3,\ 1)$，$3$番目の組は$(3,\ 2)$，$4$番目の組は$(4,\ 1)$，$5$番目の組は$(4,\ 2)$となる．次の問いに答えよ．

(1)$20$番目の自然数の組を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の自然数とするとき，組$(m,\ 1)$は何番目かを答えよ．
(3)$1 \leqq n<m \leqq 5$をみたすすべての組$(m,\ n)$を考える．組$(m,\ n)$から分数$\displaystyle \frac{n}{m}$を作るとき，これらの分数の総和を求めよ．
(4)$l$を$2$以上の自然数とする．$1 \leqq n<m \leqq l$をみたすすべての組$(m,\ n)$から作る分数$\displaystyle \frac{n}{m}$の総和が$\displaystyle \frac{4753}{2}$であるとき，$l$の値を求めよ．

点$\mathrm{P}$は次の$①$，$②$，$③$の規則に従って数直線上を動く．

\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[　](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．

$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに自然数であるような点$(m,\ n)$の各々に，自然数$a(m,\ n)$が割り当てられている．$a(1,\ 1)=1$であり，すべての$m,\ n$に対して次の規則が成り立っているとする．
\[ \begin{array}{l}
a(m+1,\ n)=a(m,\ n)+m+n \\
a(m,\ n+1)=a(m,\ n)+m+n-1
\end{array} \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a(1,\ 3)$および$a(2,\ 2)$の値を求めなさい．
(2)各々の自然数$n$に対して$a_n=a(n,\ n)$とおいて数列$\{a_n\}$を定めるとき，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表しなさい．
(3)$a_{100}$の値を求めなさい．

$1$個のサイコロを$1$回投げるごとに，出た目によって，点$\mathrm{P}$が座標平面上を，次の規則に従って動くものとする．

最初は原点にあり，偶数が出た場合は$x$軸の正の方向に出た目の数だけ進み，奇数が出た場合は$y$軸の正の方向に出た目の数だけ進む．

点$\mathrm{P}$の到達点の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)サイコロを$3$回投げたとき，$x_0=0$かつ$y_0=9$となる確率を求めよ．
(2)サイコロを$n$回投げたとき，$x_0=2n+2$かつ$y_0=0$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$\displaystyle \frac{x_0}{2}<y_0<-\frac{{x_0}^3}{4}+8$の表す領域に存在する確率を求めよ．
(4)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が${x_0}^2+{y_0}^2-8x_0-2y_0+13>0$の表す領域に存在する確率を求めよ．

次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．2個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(i) $X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．
(ii) $X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．
(iii) $X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．
\mon[$\tokeishi$] $X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2 \times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く． \\
\quad 以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,\ 0)$を出発点とする．

(1)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(3)$2$個のサイコロを$4$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．

次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．$2$個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(i) $X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．
(ii) $X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．
(iii) $X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．
\mon[$\tokeishi$] $X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2 \times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く． \\
\quad 以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,\ 0)$を出発点とする．

(1)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(0,\ 1)$にある確率を求めよ．
(3)$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．

動点$\mathrm{P}$が，図のような正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}$から出発し，さいころをふるごとに，次の規則により正方形のある頂点から他の頂点に移動する．

出た目の数が$2$以下なら辺$\mathrm{AB}$と平行な方向に移動する．
出た目の数が$3$以上なら辺$\mathrm{AD}$と平行な方向に移動する．

$n$を自然数とするとき，さいころを$2n$回ふった後に動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n$，$\mathrm{C}$にいる確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$a_1$を求めよ．
(2)さいころを$2n$回ふった後，動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にいることを証明せよ．
(3)$a_n,\ c_n$を$n$を用いてそれぞれ表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$をそれぞれ求めよ．