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国立 岩手大学 2011年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．
(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ii) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．
(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．
(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．
(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．
\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$
このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．
(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．
(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ii) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．
(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．
(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．
(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．
\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$
このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．
国立 島根大学 2011年 第3問$U=\{k \; | \; k\text{は自然数，}\ 1 \leqq k \leqq 25 \}$を全体集合とし，$U$の部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
国立 熊本大学 2011年 第2問$2$つの整数の平方の和で表される整数の集合を$A$とする．以下の問いに答えよ．
(1)集合$A$のある要素$a^2+b^2$（$a,\ b$は整数）が$3$で割り切れるとき，$a,\ b$はともに$3$で割り切れることを示せ．
(2)$x$を整数とする．$9x$が集合$A$の要素であるとき，$x$は集合$A$の要素であることを示せ．
(1)集合$A$のある要素$a^2+b^2$（$a,\ b$は整数）が$3$で割り切れるとき，$a,\ b$はともに$3$で割り切れることを示せ．
(2)$x$を整数とする．$9x$が集合$A$の要素であるとき，$x$は集合$A$の要素であることを示せ．
国立 熊本大学 2011年 第1問$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目の数を$a$，$2$回目に出る目の数を$b$とする．これらの$a,\ b$に対して，実数を要素とする集合$P,\ Q$を次のように定める．
\begin{align}
& P=\{x \;|\; x^2+ax+b>0 \} \nonumber \\
& Q=\{x \;|\; 5x+a \geqq 0 \} \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P$が実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)$Q \subset P$となる確率を求めよ．
\begin{align}
& P=\{x \;|\; x^2+ax+b>0 \} \nonumber \\
& Q=\{x \;|\; 5x+a \geqq 0 \} \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P$が実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)$Q \subset P$となる確率を求めよ．
国立 浜松医科大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
私立 上智大学 2011年 第4問実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．
自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする．
(1)$n_5=[マ]$である．
(2)自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある．
(3)自然数$m$に対して，
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく．$k \geqq 1$のとき，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$の順に$[ム]$，$[メ]$，$[モ]$である．また，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ．
(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする．
(1)$n_5=[マ]$である．
(2)自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある．
(3)自然数$m$に対して，
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく．$k \geqq 1$のとき，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$の順に$[ム]$，$[メ]$，$[モ]$である．また，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ．
(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
私立 北海道医療大学 2011年 第2問以下の問に答えよ．
(1)次の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lllll}
① \log_2 36-\log_2 9 & & ② \log_3 \sqrt{729} & & ③ 4^3 \times (2^3)^{-2} \\
④ \sqrt[3]{3} \div \sqrt{9} \times \sqrt[4]{27} & & ⑤ \sin 225^\circ & & ⑥ \tan 210^\circ \phantom{\frac{[ ]}{1}}
\end{array} \]
(2)正の整数の集合$A,\ B$がある．ここで$A=\{2n \;|\; 10 \leqq 2n \leqq 200,\ n \text{は正の整数} \}$，$B=\{ m^2 \;|\; 10 \leqq m^2 \leqq 200,\ m \text{は正の整数} \}$である．
(i) 集合$A$の要素の個数を求めよ．
(ii) $n$を正の整数とするとき，和$S=1+2+\cdots +n$を求めよ．
(iii) 集合$A$の要素の総和を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 集合$B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeigo$] 集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeiroku$] 集合$A \cup B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeishichi$] 集合$A \cup B$から要素を$1$個取り出すとき，それが集合$A \cap B$の要素である確率を求めよ．
(1)次の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lllll}
① \log_2 36-\log_2 9 & & ② \log_3 \sqrt{729} & & ③ 4^3 \times (2^3)^{-2} \\
④ \sqrt[3]{3} \div \sqrt{9} \times \sqrt[4]{27} & & ⑤ \sin 225^\circ & & ⑥ \tan 210^\circ \phantom{\frac{[ ]}{1}}
\end{array} \]
(2)正の整数の集合$A,\ B$がある．ここで$A=\{2n \;|\; 10 \leqq 2n \leqq 200,\ n \text{は正の整数} \}$，$B=\{ m^2 \;|\; 10 \leqq m^2 \leqq 200,\ m \text{は正の整数} \}$である．
(i) 集合$A$の要素の個数を求めよ．
(ii) $n$を正の整数とするとき，和$S=1+2+\cdots +n$を求めよ．
(iii) 集合$A$の要素の総和を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 集合$B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeigo$] 集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeiroku$] 集合$A \cup B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeishichi$] 集合$A \cup B$から要素を$1$個取り出すとき，それが集合$A \cap B$の要素である確率を求めよ．
私立 千葉工業大学 2011年 第3問次の各問に答えよ．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が$2$直線$L_1:y=-4x+2$，$L_2:y=2x-1$の両方と接している．このとき，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$であり，$C$と$L_1$との接点の$x$座標は$[エオ]$，$C$と$L_2$との接点の$x$座標は$[カ]$である．
(2)整数を要素とする$2$つの集合$A=\{2,\ 6,\ 5a-a^2\}$，$B=\{3,\ 4,\ 3a-1,\ a+b\}$がある．$4$が共通部分$A \cap B$に属するとき，$a=[キ]$または$[ク]$（ただし，$[キ]<[ク]$）である．さらに$A \cap B=\{4,\ 6\}$であるとき，$b=[ケ]$であり，和集合$A \cup B=\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ [コサ] \}$である．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が$2$直線$L_1:y=-4x+2$，$L_2:y=2x-1$の両方と接している．このとき，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$であり，$C$と$L_1$との接点の$x$座標は$[エオ]$，$C$と$L_2$との接点の$x$座標は$[カ]$である．
(2)整数を要素とする$2$つの集合$A=\{2,\ 6,\ 5a-a^2\}$，$B=\{3,\ 4,\ 3a-1,\ a+b\}$がある．$4$が共通部分$A \cap B$に属するとき，$a=[キ]$または$[ク]$（ただし，$[キ]<[ク]$）である．さらに$A \cap B=\{4,\ 6\}$であるとき，$b=[ケ]$であり，和集合$A \cup B=\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ [コサ] \}$である．
私立 愛知工業大学 2011年 第4問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$2$つの自然数$x,\ y (x<y)$の積が$588$で，最大公約数が$7$であるとき，この$2$つの自然数の組$(x,\ y)$は$(x,\ y)=[ ]$である．
(2)$xy$平面において，$2$次関数$y=f(x)$のグラフが点$(2,\ 5)$を頂点とし，点$(-1,\ -4)$を通る放物線であるとき，$f(x)=[ ]$である．また，このグラフを$x$軸方向に$[ ]$，$y$軸方向に$[ ]$だけ平行移動すれば$y=-x^2+10x-21$のグラフになる．
(3)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{DA}=3$のとき，$\mathrm{BD}=[ ]$，$\mathrm{CD}=[ ]$である．
(4)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}$の部分集合$A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 8,\ 9\}$，$B=\{2,\ 4,\ m\}$（$m$は$2,\ 4$以外の$U$の要素）に対して，$A \cap B=\{2,\ 4\}$となるのは$m=[ ]$のときであり，$\overline{A \cup B}=\{6,\ 7,\ 10\}$となるのは$m=[ ]$のときである．ただし，$\overline{A \cup B}$は$U$における$A \cup B$の補集合である．
(5)$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x^2} \right)^{12}$の展開式において，$x^3$の係数は$[ ]$であり，定数項は$[ ]$である．
(1)$2$つの自然数$x,\ y (x<y)$の積が$588$で，最大公約数が$7$であるとき，この$2$つの自然数の組$(x,\ y)$は$(x,\ y)=[ ]$である．
(2)$xy$平面において，$2$次関数$y=f(x)$のグラフが点$(2,\ 5)$を頂点とし，点$(-1,\ -4)$を通る放物線であるとき，$f(x)=[ ]$である．また，このグラフを$x$軸方向に$[ ]$，$y$軸方向に$[ ]$だけ平行移動すれば$y=-x^2+10x-21$のグラフになる．
(3)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{DA}=3$のとき，$\mathrm{BD}=[ ]$，$\mathrm{CD}=[ ]$である．
(4)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}$の部分集合$A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 8,\ 9\}$，$B=\{2,\ 4,\ m\}$（$m$は$2,\ 4$以外の$U$の要素）に対して，$A \cap B=\{2,\ 4\}$となるのは$m=[ ]$のときであり，$\overline{A \cup B}=\{6,\ 7,\ 10\}$となるのは$m=[ ]$のときである．ただし，$\overline{A \cup B}$は$U$における$A \cup B$の補集合である．
(5)$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x^2} \right)^{12}$の展開式において，$x^3$の係数は$[ ]$であり，定数項は$[ ]$である．
公立 釧路公立大学 2011年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$200$から$500$までの整数の集合を$U$とする．次の数を求めよ．
(i) $U$のうち，$5$か$7$のどちらかで割り切れる整数の個数．
(ii) $U$のうち，$5$で割り切れるが，$7$で割り切れない整数の個数．
(iii) $U$のうち，$5$でも$7$でも割り切れない整数の個数．
(2)整数を要素とする$2$つの集合
$A=\{ -3,\ 2,\ a^2-9a+25,\ 2a+3\}$
$B=\{ -2,\ a^2-4a-10,\ a^2-5a+1,\ a+6,\ 16\}$
において，$A \cap B=\{2,\ 7\}$とする．
(i) $A \cup B$を求めよ．
(ii) $\overline{A} \cap B$を求めよ．
(1)$200$から$500$までの整数の集合を$U$とする．次の数を求めよ．
(i) $U$のうち，$5$か$7$のどちらかで割り切れる整数の個数．
(ii) $U$のうち，$5$で割り切れるが，$7$で割り切れない整数の個数．
(iii) $U$のうち，$5$でも$7$でも割り切れない整数の個数．
(2)整数を要素とする$2$つの集合
$A=\{ -3,\ 2,\ a^2-9a+25,\ 2a+3\}$
$B=\{ -2,\ a^2-4a-10,\ a^2-5a+1,\ a+6,\ 16\}$
において，$A \cap B=\{2,\ 7\}$とする．
(i) $A \cup B$を求めよ．
(ii) $\overline{A} \cap B$を求めよ．