次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面において，$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし，$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる．また，$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする．

(i) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し，かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき，
\[ f(x)=[ア]x^2+[イ]x+[ウ] \]
である．
(ii) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき，$C$の頂点は直線
\[ y=[エ]x+[オ] \]
上に存在する。　

(2)複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする．
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする．ただし，$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする．このとき，$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは，
\[ x^2+\left( [カ]+[キ] \sqrt{[ク]} \right)x+\frac{[ケ]}{[コ]}=0 \]
である．

（選択）$i=\sqrt{-1}$とし，$\overline{z}$は$z$の共役複素数を表すとする．次の問いに答えよ．

\mon[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して，複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ．
\mon[$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$（$t$は実数）に対して，次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \]
\mon[$(3)$] 複素数$w_1$に対し，複素数$w_2,\ w_3$を
\[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \]
によって定める．$w_3$を$w_1$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して，複素数$z_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$z_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ．

複素数$\alpha$が$\alpha^3=1$かつ$\alpha \neq 1$をみたすとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\alpha^2+\alpha+1=0$を示せ．
(2)$(\alpha+1)^{2015}$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$i$を虚数単位とする．複素数$x=a+bi$が等式
\[ \left( 1-\frac{i}{2} \right)x-8+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} \right)^{104} \]
を満たしているとき，$a=[キ]$，$b=[ク]$である．

複素数$\alpha$は実数でも純虚数でもないとする．$\displaystyle \frac{\alpha}{1+\alpha^2}$が実数であるために$\alpha$の満たすべき必要十分条件を求めよ．

$i$は虚数単位とし，実数$a,\ b$は$a^2+b^2>0$を満たす定数とする．複素数$(a+bi)(x+yi)$の実部が$2$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_1$とし，また$(a+bi)(x+yi)$の虚部が$-3$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_2$とする．

(1)$L_1$と$L_2$はともに直線であることを示せ．
(2)$L_1$と$L_2$は互いに垂直であることを示せ．
(3)$L_1$と$L_2$の交点を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，実数$a,\ b$を求めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，$3$次方程式$2x^3-5x^2+cx+d=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，この$3$次方程式の実数解は$x=[　]$である．ただし，$c,\ d$は実数とする．

複素数$\displaystyle\alpha=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \alpha^{k-1},\quad T_n=\sum_{k=1}^n k \alpha^{k-1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ただし，$\alpha^0=1$とする．次の問に答えよ．

(1)$S_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$T_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(3)$T_{2014}$を求めよ．