複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表すものとする．

(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．

複素数平面上の点$\mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$を表す複素数をそれぞれ$z_0,\ z_1,\ z_2,\ \cdots$とする．原点$\mathrm{O}$および整数$k (k \geqq 0)$に対して$\displaystyle \angle \mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}=\frac{\pi}{2}$を満たす．また，$\angle \mathrm{P}_k \mathrm{OP}_{k+1}=\theta$とする．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$z_{k+1}$を$z_k$で表せ．
(2)$z_0=a$（$a$は正の実数）であるとき，三角形$\mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}$の面積$s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(3)三角形の面積の和$\displaystyle A_n=\sum_{k=0}^{n-1}s_k$を$a,\ \theta$で表せ．

$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$とする．

(1)$\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1$が成立することを示せ．
(2)$z=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$とするとき，$z+\overline{z}$と$z \overline{z}$を求めよ．ここで$\overline{z}$は$z$の共役複素数である．
(3)$\alpha+\alpha^2+\alpha^4$を求めよ．

サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．

(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
(3)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta<1$が成り立つ確率を求めよ．

サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．

(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．

（新課程履修者）複素数平面上に原点$\mathrm{O}(0)$と点$\mathrm{A}(1+\sqrt{3}i)$がある．ただし，$i$を虚数単位とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0 \leqq \theta <2\pi$とする．
(2)点$\mathrm{A}$を原点のまわりに$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
(3)虚軸上の点$\mathrm{B}(z)$が$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすとき，複素数$z$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\mathrm{B}(z)$に対して，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を表す複素数を求めよ．

次の$(1),\ (2)$から$1$題を選択し解答せよ．

(1)等式$\displaystyle |\displaystyle\frac{i|{z}-1}=|\displaystyle\frac{1|{z}-k}$を満たすすべての複素数$z$に対して不等式$|z| \leqq 2$が成り立つような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)実数$k$と$2$次の正方行列$A$は$A^2-kA+3E=O$を満たすとする．また，座標平面上で$A$の表す移動によって，点$(1,\ 1)$は点$(3,\ 3)$へ移り，直線$y=-x$上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，$A$を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．

次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．

必答問題$(1)$，$(2)$の$2$問と，選択問題$(3)$，$(4)$のいずれか$1$問を選択し，計$3$問を解答せよ．

(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

$\alpha$を実数でない複素数とし，$\beta$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．ただし，複素数$w$に対してその共役複素数を$\overline{w}$で表す．

(1)複素数平面上で，関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする．このとき，$C$は原点を通る円であることを示せ．
(2)複素数平面上で，$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする．$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ．また，その$2$点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(3)$\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする．$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．