「複素数」について
タグ「複素数」の検索結果
(3ページ目:全105問中21問~30問を表示)![和歌山大学](./img/univ/wakayama.png)
複素数平面上に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(5)$,$\mathrm{B}(-10-5i)$,$\mathrm{C}(3+4i)$をとる.$\triangle \mathrm{OAB}$を,点$\mathrm{O}$が点$\mathrm{C}$に重なるように平行移動し,さらに点$\mathrm{C}$のまわりに$\theta$だけ回転した.このとき,点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime(\alpha)$に,点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime(\beta)$に移った.ただし,$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とし,$\alpha,\ \beta$は複素数とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{A}^\prime$が一直線上にあるとき,次の問いに答えよ.
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ.
(2)$\beta$の値を求めよ.
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ.
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ.
(2)$\beta$の値を求めよ.
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ.
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
![弘前大学](./img/univ/hirosaki.png)
$2$つの複素数$w,\ z$が$\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}$を満たしているとする.ただし,$i$は虚数単位とする.次の問いに答えよ.
(1)複素数平面上で,点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき,点$w$はどのような図形を描くか.ただし,$z \neq 2$とする.
(2)複素数平面上で点$z$が虚軸上を動くとき,点$w$はどのような図形を描くか.
(3)複素数平面上で点$w$が実軸上を動くとき,点$z$はどのような図形を描くか.
(1)複素数平面上で,点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき,点$w$はどのような図形を描くか.ただし,$z \neq 2$とする.
(2)複素数平面上で点$z$が虚軸上を動くとき,点$w$はどのような図形を描くか.
(3)複素数平面上で点$w$が実軸上を動くとき,点$z$はどのような図形を描くか.
![佐賀大学](./img/univ/saga.png)
$0$でない複素数$z$の極形式を$r(\cos \theta+i \sin \theta)$とするとき,次の複素数を極形式で表せ.ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$とし,また$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す.
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
![佐賀大学](./img/univ/saga.png)
複素数平面上の点$z$に対して
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる.このとき,次の問に答えよ.
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき,
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ.
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる.このとき,次の問に答えよ.
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき,
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ.
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.
![お茶の水女子大学](./img/univ/ocha.png)
$4$つの複素数$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$は互いに異なり,その絶対値はすべて$1$であるとする.
(1)$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき,$z_1+z_2+z_3=0$となることを示せ.
(2)$z_1+z_2+z_3=0$が成り立つとき,$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ.
(3)$z_1+z_2+z_3+z_4=0$が成り立つとき,$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ.
(1)$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき,$z_1+z_2+z_3=0$となることを示せ.
(2)$z_1+z_2+z_3=0$が成り立つとき,$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ.
(3)$z_1+z_2+z_3+z_4=0$が成り立つとき,$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
次の各問いに答えよ.
(1)複素数$z,\ w$について,次の関係が成立することを示せ.ただし複素数$\alpha$に対し,$\overline{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す.
(i) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(ii) $\overline{zw}=\overline{z} \ \overline{w}$
(2)方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.次の各問いに答えよ.
(i) $\alpha,\ \beta$を求めよ.さらにそれらを極形式で表せ.
(ii) $\alpha^{100}+\beta^{100}$を求めよ.
(1)複素数$z,\ w$について,次の関係が成立することを示せ.ただし複素数$\alpha$に対し,$\overline{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す.
(i) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(ii) $\overline{zw}=\overline{z} \ \overline{w}$
(2)方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.次の各問いに答えよ.
(i) $\alpha,\ \beta$を求めよ.さらにそれらを極形式で表せ.
(ii) $\alpha^{100}+\beta^{100}$を求めよ.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
$i$を虚数単位とする.複素数$z$が等式$|iz+3|=|2z-6|$を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1)この等式を満たす点$z$全体は,どのような図形を表すか答えよ.
(2)$z-\overline{z}=0$を満たす$z$を求めよ.
(3)$|z+i|$の最大値を求めよ.
(1)この等式を満たす点$z$全体は,どのような図形を表すか答えよ.
(2)$z-\overline{z}=0$を満たす$z$を求めよ.
(3)$|z+i|$の最大値を求めよ.
![島根大学](./img/univ/shimane.png)
複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$,$\mathrm{Q}(2)$と,これら$3$点を通る円$C$がある.ただし,$i$は虚数単位とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ.ただし,偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ.
(3)円$C$と虚軸との交点のうち,$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ.
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする.点$z$が円$C$上を動くとき,複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ.
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ.ただし,偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ.
(3)円$C$と虚軸との交点のうち,$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ.
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする.点$z$が円$C$上を動くとき,複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ.