複素数平面上で，等式
\[ \frac{z-1}{z+1}=|\displaystyle\frac{z-1|{z+1}}i \]
を満たす点$z$全体が表す図形を求め，その図形を複素数平面上に図示せよ．ただし，$i$は虚数単位で，複素数$w$に対して$|w|$は$w$の絶対値を表す．

$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．

(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$i$を虚数単位とする．複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し，複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(\alpha\beta)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき，$|\beta|$を求めよ．

(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ．

(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$，$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ．さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

複素数平面において，円$|z|=1$を$C$とする．

(1)$\alpha=a+bi$を$C$上の点とする．複素数$w=x+yi$が$\alpha$を通る$C$の接線上にあるための条件を実数$a,\ b,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)次の条件を満たす$C$上の点$\alpha$の描く図形を図示せよ．
\[ \text{条件：} \quad \left\{ \begin{array}{l}
\alpha \overline{w}+\overline{\alpha}w=2 \\
|w-4|=1
\end{array} \right. \text{を同時に満たす複素数$w$が存在する．} \]

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[　]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[　]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[　]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[　]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[　]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[　]$であり，半径は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位である．

次の問いに答えよ．

(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．

$i$を虚数単位とする．異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする．さらに，$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする．複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．

(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である．

(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき，$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である．さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると，点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{（ただし$\delta$は$0$と異なる定数）} \]
を満たす．このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．

(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ，実軸上，虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である．さらに，$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)複素数平面において，$\alpha=3+i$，$\beta=5-3i$とする．点$\beta$を，点$\alpha$を中心として$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$だけ回転した点を表す複素数$\gamma$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から曲線$3x^2-2y^2=-6$に引いた接線の方程式を求めよ．

$a$を$1$以上の実数，$b$を実数，$i$を虚数単位とし，複素数$z$を$z=a+bi$とする．また，複素数$w$を$\displaystyle w=\frac{1}{z}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)複素数$z$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．また，$iz$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．
(2)$x,\ y$を実数とし，$w=x+yi$とおくとき，$a$を$x$および$y$を用いて表せ．
(3)$w$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)異なる複素数$\alpha,\ \beta$に対して，$\displaystyle \frac{z-\alpha}{z-\beta}$が純虚数となるような$z$は，複素数平面上でどのような図形を描くか．
(2)$2$次方程式$x^2-2x+4=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha$の虚部は正であるとする．等式
\[ \arg{\displaystyle\frac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}}=\frac{\pi}{2} \]
をみたす$z$が，複素数平面上で描く図形を図示せよ．