「複素数平面」について
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国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 佐賀大学 2016年 第4問複素数平面上の点$z$に対して
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする．$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき，
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ．
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする．$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき，
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第3問$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第4問$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2016年 第3問複素数平面上で，複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す．$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(1)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．ただし，複素数$\beta$の偏角$\theta$は，$0<\theta<\pi$を満たすとする．また，$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする．等式
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき，以下の各問に答えよ．
(1)複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(2)複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき，以下の各問に答えよ．
(1)複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(2)複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．
国立 茨城大学 2016年 第4問$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{\sqrt{3}+i}$のとき，以下の各問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$\alpha$の絶対値を$r$，偏角を$\theta$とする．$r$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\alpha^{20}$を計算せよ．
(3)複素数平面上で複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{P}(z)$と表す．点$\mathrm{A}(\alpha^{20})$，$\mathrm{B}(\alpha^{36})$，$\mathrm{C}(\beta)$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある．このとき，複素数$\beta$をすべて求めよ．
(1)$\alpha$の絶対値を$r$，偏角を$\theta$とする．$r$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\alpha^{20}$を計算せよ．
(3)複素数平面上で複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{P}(z)$と表す．点$\mathrm{A}(\alpha^{20})$，$\mathrm{B}(\alpha^{36})$，$\mathrm{C}(\beta)$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある．このとき，複素数$\beta$をすべて求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)複素数平面上で，点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき，残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)複素数平面上で，点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき，残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
私立 早稲田大学 2016年 第3問複素数$z$に対して
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする．ただし，$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする．
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．次の問に答えよ．
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ．
(2)$|\alpha|<1$のとき，すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ．
(3)$|\alpha|=1$とする．複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき，これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある．円$C_z$の中心と半径を求めよ．
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする．ただし，$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする．
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．次の問に答えよ．
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ．
(2)$|\alpha|<1$のとき，すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ．
(3)$|\alpha|=1$とする．複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき，これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある．円$C_z$の中心と半径を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第5問複素数$z_1,\ z_2,\ z_3$を表す複素数平面上の点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=1:\sqrt{3}:2$の三角形を作るとき
\[ \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=[ヌ] \pm \sqrt{[ネ]}i \]
である．
\[ \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=[ヌ] \pm \sqrt{[ネ]}i \]
である．