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山口東京理科大学 私立 山口東京理科大学 2016年 第2問
ある製品を工場$\mathrm{A}$および工場$\mathrm{B}$で製造している.工場$\mathrm{A}$の製品には$4 \, \%$,工場$\mathrm{B}$の製品には$5 \, \%$の不良品がそれぞれ含まれる.工場$\mathrm{A}$と工場$\mathrm{B}$の個数を$5:7$の割合で混ぜた大量の製品の中から$1$個の製品を取り出す.

(1)取り出した製品が不良品である確率は,$\displaystyle \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ][シ]}$である.
(2)取り出した製品が不良品であったとき,それが工場$\mathrm{A}$の製品である確率は,$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適切な数を入れよ.

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 1)$,$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して,
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である.
(2)開発中のある薬品を製造するために,$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が考案された.また,各々の方式で,失敗せず薬品が製造できる確率は,それぞれ,$90 \, \%$,$70 \, \%$,$50 \, \%$である.これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき,少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は,$[ウ][エ].[オ] \%$である.
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき,初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である.

また,$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.30103$とする.
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$,$f(2)=31$を満たす.さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$,$x=1$で極値をとるとする.このとき,$a=[ス]$,$b=[セ]$,$c=[ソ]$であり,$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である.
高崎経済大学 公立 高崎経済大学 2016年 第5問
あるだるまメーカーが,大小$2$種類のだるまを製造・販売している.だるまの製造には,材料と職人の作業が必要である.だるま$1$個の製造に必要な材料の量と職人の作業時間,販売によって得られる利益は下の表に示すとおりである.また,材料は$84 \, \mathrm{kg}$まで使うことができ,職人は$960$時間まで作業できる.なお,製造しただるまは必ず販売できる.このとき,次の各問に答えよ.

表 だるま$1$個の製造に必要な材料の量,職人の作業時間,得られる利益

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 必要な材料の量 & 必要な職人の作業時間 & 得られる利益 \\ \hline
だるま(小) & $100 \mathrm{g}$ & $2$時間 & $300$円 \\ \hline
だるま(大) & $300 \mathrm{g}$ & $3$時間 & $500$円 \\ \hline
\end{tabular}

(1)「だるま(小)」だけを製造・販売する場合,利益は最大でいくらになるか.
(2)「だるま(小)」と「だるま(大)」を製造・販売する場合,利益の総額を最大にするためには,「だるま(小)」と「だるま(大)」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか.
(3)いま,ライバルメーカーとの競争によって,「だるま(小)」$1$個から得られる利益が$100$円に,「だるま(大)」$1$個から得られる利益が$350$円に,それぞれ低下したとする.この場合,利益の総額を最大にするためには,「だるま(小)」と「だるま(大)」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか.
明治大学 私立 明治大学 2015年 第1問
次の$[ ]$に適する数を入れよ.

(1)製品$\mathrm{A}$は$3$つの部品$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$から構成される.部品$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$は,製造する過程において各々$\displaystyle \frac{1}{8}$の確率で低品質のものが発生する.製品$\mathrm{A}$に$2$つ以上の低品質の部品が含まれるとき,製品$\mathrm{A}$は不良品となる.製品$\mathrm{A}$を$1$つ製造するとき,それが不良品となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}$である.

(2)$a$を実数,$k$を正の実数として
\[ F(a)=\int_a^k (x^2-a^2) \, dx \]
とおく.関数$F(a)$の極値の差が$72$となるような$k$の値は$[カ]$である.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$は,$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=5$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$をみたすとする.$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし,この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である.辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$,線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ][チ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2012年 第2問
ある企業が毎年$x$リットルの液体製品を製造している.生産するための総費用を$c$,設備の規模を$k$とする.製品1リットルの価格を$p$とし
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする.このとき利潤は$px-c$である.

(1)$p=15,\ k=1$のとき,$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる.
(2)生産量$x$を変えずに,設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である.
(3)$p=19$とし,$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする.このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問
別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある.製品の不良は各部品の不良のみに由来し,部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である.製品を製造した後,検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする.以下の問いに答えよ.

(1)合格品(不良が無い製品)が製造される確率を求めよ.
(2)製品を$5$個製造した後,検査を行ったとき,$4$個以上が合格品である確率を求めよ.
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である.また,部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり,部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である.製品$1$個あたりの利益は,以下の式で計算される.

(製品$1$個あたりの利益)$=$(販売価格)$-$(製品$1$個あたりの費用)

製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき,製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ.なお,不良品(不良のある製品)は販売しないため,上式の(販売価格)項が$0$となり負の利益(損失)が生じることを考慮せよ.
(4)新たに工作機械を導入することで,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる.しかし,この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり,これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する.$10,000$個製品を製造するとき,工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か,工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ.ただし,工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする.また,販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする.
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