「自然数」について
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国立 筑波大学 2011年 第2問自然数$n$に対し，関数
\[ F_n(x) = \int_x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad (x \geqq 0) \]
を考える．
(1)関数$F_n(x) \ (x \geqq 0)$はただ一つの点で最大値をとることを示し，$F_n(x)$が最大となるような$x$の値$a_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$a_n$に対し，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log a_n$を求めよ．
\[ F_n(x) = \int_x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad (x \geqq 0) \]
を考える．
(1)関数$F_n(x) \ (x \geqq 0)$はただ一つの点で最大値をとることを示し，$F_n(x)$が最大となるような$x$の値$a_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$a_n$に対し，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log a_n$を求めよ．
国立 信州大学 2011年 第1問正の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$と自然数$n \geqq 2$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．
\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} > \frac{a_1 +a_2 + \cdots +a_n}{1+a_1 +a_2+\cdots+a_n} \]
\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} > \frac{a_1 +a_2 + \cdots +a_n}{1+a_1 +a_2+\cdots+a_n} \]
国立 岩手大学 2011年 第5問行列$X=\left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{array} \right),\ Y=\left( \begin{array}{cc}
2 & 2 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，$A=XY$とする．行列$B=\left( \begin{array}{cc}
2 & r \\
t & s
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{rr}
r & s \\
-1 & -s
\end{array} \right)$が等式$AP=PB$を満たし，かつ$P$が逆行列をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$r,\ s,\ t$は実数とする．
(1)$A$を求めよ．
(2)$B,\ P$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{array} \right),\ Y=\left( \begin{array}{cc}
2 & 2 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，$A=XY$とする．行列$B=\left( \begin{array}{cc}
2 & r \\
t & s
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{rr}
r & s \\
-1 & -s
\end{array} \right)$が等式$AP=PB$を満たし，かつ$P$が逆行列をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$r,\ s,\ t$は実数とする．
(1)$A$を求めよ．
(2)$B,\ P$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第2問1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第1問次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}
(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}
(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．
国立 岩手大学 2011年 第2問1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第1問$m$を自然数とする．$2^m!$が$2^n$で割り切れる自然数$n$の最大値を$N(m)$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$N(5)$を求めよ．
(2)$N(m)$を$m$の式で表せ．
(3)$N(m)$が素数ならば，$m$も素数であることを証明せよ．
(1)$N(5)$を求めよ．
(2)$N(m)$を$m$の式で表せ．
(3)$N(m)$が素数ならば，$m$も素数であることを証明せよ．
国立 島根大学 2011年 第3問$U=\{k \; | \; k\text{は自然数，}\ 1 \leqq k \leqq 25 \}$を全体集合とし，$U$の部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
国立 島根大学 2011年 第2問数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_1=3, b_1=\frac{3}{2}, a_{n+1}=b_n, b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \quad (n \geqq 1) \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての$n \geqq 1$に対して$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)$が成り立つ$\alpha,\ \beta$の値の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_n=2$となる自然数$n$の存在性を調べよ．
\[ a_1=3, b_1=\frac{3}{2}, a_{n+1}=b_n, b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \quad (n \geqq 1) \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての$n \geqq 1$に対して$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)$が成り立つ$\alpha,\ \beta$の値の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_n=2$となる自然数$n$の存在性を調べよ．
国立 東京医科歯科大学 2011年 第1問ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．