「自然数」について
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私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～キに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり，そのときの$\theta$の値は[イ]である．
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき，$x=\log_a y$と表せば，$y=[ウ]$である．ただし，$a>0$，$a \neq 1$とする．
(3)さいころを$3$回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして$3$桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が$6$で割り切れ，さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である．
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で，条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち，最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である．
(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり，そのときの$\theta$の値は[イ]である．
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき，$x=\log_a y$と表せば，$y=[ウ]$である．ただし，$a>0$，$a \neq 1$とする．
(3)さいころを$3$回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして$3$桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が$6$で割り切れ，さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である．
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で，条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち，最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第6問$a,\ b,\ c$を自然数とし，$1 \leqq a \leqq 10$，$c \leqq b \leqq a$とする．次のプログラムは$a^2+b^2+c^2$が平方数となる場合を求めるものである．解答欄に適切なものを入れよ．
$\mathrm{100 FOR A=1 TO 10}$
$\mathrm{110 FOR B=1 TO [(201)][(202)]}$
$\mathrm{120 FOR C=1 TO B}$
$\mathrm{130 FOR I=1 TO 2 * [(203)][(204)]}$
$\mathrm{140 LET S=A * A+B * B+C * C-I * I}$
$\mathrm{150 IF S=<0 THEN GOTO [(205)][(206)]}$
$\mathrm{160 NEXT [(207)][(208)]}$
$\mathrm{170 IF S<0 THEN GOTO [(209)][(210)]}$
$\mathrm{180 PRINT A; "**2+" ;B; "**2+" ;C; "**2=" ;I; "**2"}$
$\mathrm{190 NEXT [(211)][(212)]}$
$\mathrm{200 NEXT B}$
$\mathrm{210 NEXT A}$
$\mathrm{220 END}$
$\mathrm{100 FOR A=1 TO 10}$
$\mathrm{110 FOR B=1 TO [(201)][(202)]}$
$\mathrm{120 FOR C=1 TO B}$
$\mathrm{130 FOR I=1 TO 2 * [(203)][(204)]}$
$\mathrm{140 LET S=A * A+B * B+C * C-I * I}$
$\mathrm{150 IF S=<0 THEN GOTO [(205)][(206)]}$
$\mathrm{160 NEXT [(207)][(208)]}$
$\mathrm{170 IF S<0 THEN GOTO [(209)][(210)]}$
$\mathrm{180 PRINT A; "**2+" ;B; "**2+" ;C; "**2=" ;I; "**2"}$
$\mathrm{190 NEXT [(211)][(212)]}$
$\mathrm{200 NEXT B}$
$\mathrm{210 NEXT A}$
$\mathrm{220 END}$
私立 自治医科大学 2012年 第4問連続する$3$つの自然数$n,\ n+1,\ n+2$について考える．$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=245$となるとき，$n$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第19問箱の中に赤玉$10$個と白玉$90$個が入っている．この箱から$4$個の玉を同時に取り出すこととする．$1$個が赤玉で$3$個が白玉である確率を$p$とすると，$\displaystyle \frac{1}{n+1}<p<\frac{1}{n}$（$n$は自然数）の関係が成立する．$n$の値を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第2問数列$\{a_k\}$は，すべての自然数$n$に対して，
\[ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{3}{8}-\frac{3^n}{n+2} \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)$k \geqq 2$のとき，$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)数列$\{b_k\}$を，すべての自然数$k$に対して，$\displaystyle b_k=\frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k$により定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を$n$の式で表せ．
\[ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{3}{8}-\frac{3^n}{n+2} \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)$k \geqq 2$のとき，$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)数列$\{b_k\}$を，すべての自然数$k$に対して，$\displaystyle b_k=\frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k$により定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を$n$の式で表せ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を記入せよ．
(1)$20^{10}$の正の約数は全部で$[ア]$個ある．
(2)$2<\log_a 900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$[イ]$個ある．
(3)整数の組$(p,\ q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,\ q)$は全部で$[ウ]$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$[エ]$個ある．
(5)$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$[オ]$個ある．
(1)$20^{10}$の正の約数は全部で$[ア]$個ある．
(2)$2<\log_a 900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$[イ]$個ある．
(3)整数の組$(p,\ q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,\ q)$は全部で$[ウ]$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$[エ]$個ある．
(5)$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$[オ]$個ある．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
私立 学習院大学 2012年 第2問$n$を自然数とする．$1$枚のコインを投げ続けて，裏が出た時点で終了するゲームを行う．ただし，$n$回続けて表が出たときもゲームは終了するものとする．このゲームで出た表の数を$p$とするとき，次のように得点を与える．
$p=0$ならば得点は$0$
$p \geqq 1$ならば得点は$3^p$である．
得点の期待値を求めよ．
$p=0$ならば得点は$0$
$p \geqq 1$ならば得点は$3^p$である．
得点の期待値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第3問大きさの同じ$N$個の正方形を，図$1$のように左端からつめて高さを$3$段までに並べる．このとき，各段の正方形の数はその$1$つ下の段の正方形の数以下とする．例えば，$N=4$の場合，図$2$のように$4$通りの並べ方がある．
(1)上のような並べ方は，$N=5$のとき$[ノ]$通り，$N=6$のとき$[ハ]$通り，$N=7$のとき$[ヒ]$通りである．
(2)高さが$2$段までの並べ方は，
$N$が偶数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ] \right)$通り，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[マ]}{[ミ]}N+\frac{[ム]}{[メ]} \right)$通りである．
(3)$N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図$1$は$N=12$，$m=3$のときの並べ方の一例である．
$m$が偶数のとき，
\[ a_m=[モ]n+\frac{[ヤ]}{[ユ]}m+[ヨ] \]
$m$が奇数のとき，
\[ a_m=[ラ]n+\frac{[リ]}{[ル]}m+\frac{[レ]}{[ロ]} \]
である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で
\[ [ワ]n^2+[ヲ]n+[ン] \]
通りである．
（図は省略）
(1)上のような並べ方は，$N=5$のとき$[ノ]$通り，$N=6$のとき$[ハ]$通り，$N=7$のとき$[ヒ]$通りである．
(2)高さが$2$段までの並べ方は，
$N$が偶数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ] \right)$通り，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[マ]}{[ミ]}N+\frac{[ム]}{[メ]} \right)$通りである．
(3)$N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図$1$は$N=12$，$m=3$のときの並べ方の一例である．
$m$が偶数のとき，
\[ a_m=[モ]n+\frac{[ヤ]}{[ユ]}m+[ヨ] \]
$m$が奇数のとき，
\[ a_m=[ラ]n+\frac{[リ]}{[ル]}m+\frac{[レ]}{[ロ]} \]
である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で
\[ [ワ]n^2+[ヲ]n+[ン] \]
通りである．
（図は省略）