次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを答えよ．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

行列$A,\ B,\ E$を$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

$M_0=E$とし，さいころをふって偶数が出れば$A$を左からかけ，奇数が出れば$B$を左からかける操作を$n$回繰り返すことにより行列$M_n$を定める．つまり，
\begin{itemize}
$n$回目に偶数が出たら$M_n=AM_{n-1}$，
$n$回目に奇数が出たら$M_n=BM_{n-1}$
\end{itemize}
と順々に$M_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$M_n=A$となる確率を$p_n$とする．

(1)$p_1=[ア]$である．
(2)$A^a=E$をみたす最小の自然数$a$は$[イ]$である．$B^b=E$をみたす最小の自然数$b$は$[ウ]$である．$BA=AB^c$をみたす最小の自然数$c$は$[エ]$である．
(3)$M_0,\ M_1,\ M_2,\ \cdots$の中で相異なる行列は最大$[オ]$個である．
(4)$n$が偶数のときは$p_n=[カ]$であり，$n$が$3$以上の奇数のときは$p_n=[キ]$である．

連続する3つの自然数$n,\ n+1,\ n+2$について考える．\\
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=245$となるとき，$n$の値を求めよ．

$3$つの$2$次正方行列
\[ A= \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
a & 1
\end{array}
\right),\quad B= \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z
\end{array}
\right),\quad C= \left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-2 & 3
\end{array}
\right) \]
があり，$AB=CA$が成立している．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)$a,\ x,\ y,\ z$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$の値を用いて，$A^{-1}$を求めよ．
(3)(1)で求めた$x,\ y,\ z$の値を用いて，自然数$n$に対し，$B^n$を求めよ．
(4)自然数$n$に対し，$C^n$を求めよ．

自然数$n$に対して，$3$次曲線$C_n:y=x(x-n)(x-n-1)$を考え，原点$\mathrm{O}$を通る$C_n$の接線で，接点が原点以外のものを$\ell_n$とする．また，$C_n$の原点における接線と$C_n$で囲まれる部分の面積を$S_n$とし，$\ell_n$と$C_n$で囲まれる部分の面積を$T_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_n$の方程式を求めよ．
(2)$S_n,\ T_n$を求め，さらに，$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な$C_1$の接線で，$\ell_1$と異なるものを$\ell^\prime$とする．$\ell^\prime$の方程式を求めよ．
(4)$\ell^\prime$は$(3)$におけるとおりとする．次の$4$直線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
\begin{itemize}
$\ell_1$
$\ell^\prime$
$\ell_1$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
$\ell^\prime$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
\end{itemize}

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．

$k$は自然数とし，数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=\sqrt{2}, \quad (2a_n + k)a_{n+1} = ka_n - 2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_3$を$k$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle a_3=-\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$k$を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$a_5$と$a_{2012}$を求めよ．

$3$けたの自然数$2$つの和が$756$，最大公約数が$84$である．このような自然数の組を求めよ．

$3$けたの自然数$2$つの和が$756$，最大公約数が$84$である．このような自然数の組を求めよ．

集合$\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\}$の部分集合の中で，連続する自然数を含まない部分集合の個数を$f(n)$とする．ただし空集合は連続する自然数を含まない部分集合とする．たとえば$n=4$のとき，$\{1,\ 3,\ 4\}$は連続する自然数を含む部分集合，$\{2\}$や$\{1,\ 3\}$は連続する自然数を含まない部分集合である．このとき$f(1)=[(101)]$，$f(2)=[(102)]$，$f(3)=[(103)]$となる．$n \geqq 3$のとき
\[ f(n)=f(n-1)+[(104)]f(n-[(105)]) \]
である．$f(10)=[(106)][(107)][(108)]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$a=[(43)],\ b=[(44)]$は
\[ \frac{31}{99}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{11ab} \]
をみたす．ただし$a<b$とする．
(2)$4$人でプレーするゲームの大会がある．全部で$v$人のプレーヤーがゲームを繰り返し行い，各プレーヤーは他のすべてのプレーヤーと必ず$1$回だけ対戦する．\\
\quad この大会の総ゲーム数を$b$とし，各プレーヤーは$r$回のゲームに参加するとする．たとえば$r=1$のとき，$v=[(45)],\ b=[(46)]$であるが，$r=2,\ 3$のときは条件をみたす大会は成立しない．$r=4$のとき，$v=[(47)][(48)],\ b=[(49)][(50)]$である．