正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点$\mathrm{D}$と正六角形の外部の点$\mathrm{G}$を線分で結んだ下のような図形がある．動点$\mathrm{P}$はこの図形の線分上を動き，点から点へ移動する．動点$\mathrm{P}$の隣接する点への移動には$1$秒間を要する．また，隣接する点が複数あるときは，等しい確率でどれか$1$つの点に移動するものとする．
（図は省略）

(1)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$][$55$]}$である．

(2)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$56$][$57$]}{[$58$][$59$]}$である．

(3)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は$\displaystyle \frac{{[$60$]}^n-{[$61$]}^n}{{[$62$]}^n}$である．ただし，$n$は自然数とする．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)等差数列$\{a_n\}$は，初項から第$5$項までの和は$50$で，$a_5=16$であるとする．このとき，一般項$a_n$は，$a_n=[ア]$となり，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[イ]$となる．
(2)$(x+1)^8 (x-1)^4$を展開したとき，$x^{10}$の項の係数は$[ウ]$である．また，$(x^2+x+1)^6$を展開したとき，$x^{10}$の項の係数は$[エ]$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=7$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$S=[オ]$，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\mathrm{BC}=[カ]$，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は$R=[キ]$である．
(4)$12^n$の正の約数の個数が$28$個となるような自然数$n$は，$n=[ク]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき，
\[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=[ア] \alpha \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \]
であるとき，$\mathrm{AC}=[イ]$である．
(3)$X=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$Y=\left( \begin{array}{rr}
-3 & 0 \\
0 & -3
\end{array} \right)$および自然数$n$に対し，
\[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc}
[ウ] & [エ] \\
[オ] & [カ]
\end{array} \right) \]
となる．
(4)$a,\ b$を$a>0$，$b>1$となる実数とする．放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は，$b=[キ]$かつ$a>[ク]$が成り立つことである．ただし，$[キ]$には$a$の式，$[ク]$には数を記入すること．

次の命題を証明せよ．ただし，$(2)$の証明には$(1)$を使ってよい．

(1)$x$は実数とする．$x \geqq 4$のとき，$3x^2+3x+1<x^3$が成り立つ．
(2)$n$は自然数とする．$n \geqq 10$のとき，$n^3<2^n$が成り立つ．

$n$を自然数とする．赤玉が$n$個，青玉が$2$個，白玉が$1$個入った袋がある．

(1)袋から同時に$2$個の玉を取り出す．$n=[$31$][$32$]$のとき，取り出された$2$個の玉に含まれる赤玉の個数の期待値は$\displaystyle \frac{7}{4}$である．
(2)袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$10$回くり返す．

(i) $n=5$のとき，青玉が$9$回以上出る確率は$\displaystyle \frac{[$33$][$34$]}{4^{10}}$である．
(ii) 調べた色を順に記録してできる色の列のうちで
「赤が$8$個以下，または$3$番目が青か白」
であるものの総数は$3^{10}-[$35$][$36$]$である．

数列$\{a_n\}$は，$a_1=2$と$a_{n+1}=3a_n-2$を満たしている（$n$は自然数）．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．$S_n>2014$をみたす最小の$n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．

$n$は自然数とする．数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=3 \\
a_n=\sum_{k=1}^{n-1} a_k \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_5$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき一般項$a_n$を求めよ．
(3)$a_n$が$10^{10}$を超える最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)自然数$n$について，$\displaystyle \left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3}
\end{array} \right)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(p_nq_n)$を求めなさい．
(2)行列$A$で表される$1$次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．